构建公理体系，培养几何思维

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构建公理体系，培养几何思维

原创 PPL Math 皮皮龙数学 2024-04-26 09:54 河北

前言

1950 年，一项关于“几何教学目标”的调查访问了 500 名美国中学教师，绝大多数受访者选择的答案都是“培养清晰的思维习惯和精确的表达习惯”，该答案的支持人数几乎是“传授几何事实和原理”这一答案的两倍。

换句话说，几何教学的目标不是给学生灌输关于几何图形的若干已知事实，而是培养他们利用原理构建事实的思维习惯。

一、何为几何？

几何，即：丈量世界，它包罗万象，解释世间万物运行机制。

几何起源于人类生产生活需要。

1  几何学的起源

    在原始社会里，人类在生产和生活中，积累了许多有关物体的形状、大小和相互之间的位置关系的知识。随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识。



2  几何学的雏形

    后来，相传于四千年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后，使土地的界线不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识，从而形成初步的几何学。



3  几何学的完善

    再后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。



4  欧氏几何的诞生

    公元前 338 年，希腊人欧几里得，把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》，现今我们学习的几何学课本多是以《几何原本》为依据编写的，也被称为“欧氏几何”。



5  几何问题代数化

    一千年后，笛卡儿在《方法论》的附录《几何》中，将坐标引入几何，将几何学带来革命性进步。从此几何问题能以代数的形式来表达。



6  现代几何学

    目前，几何学有很多分支：欧氏几何、非欧几何、罗氏几何、黎曼几何，拓扑学...



二、欧氏几何----《几何原本》



欧几里得几何，也称：欧氏几何，是二维平面和三维立体中常见的几何，基于点、线、面的假设。

其著作《几何原本》总结了前人的几何知识和研究成果，用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，标志着几何知识从零散、片段的经验形态转变为完整的逻辑体系，深刻影响到后世数学的发展，采用的演绎结构被移植到其它学科后也同样促进了这些学科的发展。

三、公理化思想

1  简介

公理化方法是指在一个数学理论体系中，尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这种思想被称为公理化思想。

2  体系建立的方法

用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：

①初始概念的列举。

②定义的叙述。

③公理的列举。

④定理叙述和证明。

注  什么是公理？

>>>百科上这样说：

公理是一个汉语词汇，读音为 gōng lǐ ，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。

>>>皮皮龙这样说：

公理是人类主观意识中认为显然成立的一个事实，类似一种规则，不分对错，可修改，修改之后会形成新的体系。

比如说：

宇宙是连续的，如果被证伪，那么目前所学理论将被推翻，会形成新的理论。

再比如说：

欧几里得平行公理被修改，形成非欧几何。

2  《几何原本》的逻辑

《几何原本》即从少数几个公理出发，由简到繁地推演出 460 多个命题，建立起人类史上第一个完整的公理演绎体系。

欧几里得在《几何原本》中首先提出 5 条公理和 5 条公设：

五条公理：

1、等于同量的量彼此相等。

2、等量加等量，其和仍相等。

3、等量减等量，其差仍相等。

4、彼此能够重合的物体是全等的。

5、整体大于部分。

五条公设：

1、过两点可以作一条直线。

2、直线可以向两端无限延伸。

3、以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。

4、凡直角都相等。

5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180° ，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

注  公理 VS 公设

1）适用范围不同：

公理是适用于一切科学的真理，具有更广泛的适用性；

公设则主要在几何学中使用，是几何学中的基本原理，适用于几何学。

2）自明性和逻辑性不同：

公理通常被认为是不证自明、表象直观的。

例如“等量加等量，其和仍等”；

公设是在逻辑体系的开端，难以被证明或推翻。

例如“两点可以决定一条直线”。

在不至于混淆的情况下，有时也将几何中的公设称为几何公理。

3  非欧几何的产生

在欧几里得的五个公设理中，他没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。

>>>提出问题：

亚里士多德指出：

前三个公设说的是可以构造线和圆，是对两件东西存在性的声明。

第五个公设非常啰嗦，没有前四个简洁好懂，声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。

>>>演绎推理：

后来，数学家注意到，与前四条公设相比，第五公设的性质显得太复杂，更像一条定理而不是公设。因此人们开始怀疑第五公设作为公理的地位，并探索用其它公理来证明它，从而使之变成为一条定理。其中包括许多知名的数学家。虽然，所有这一切几乎都失败了，但是，由于数学家们对欧几里得第五公设的怀疑、探索，并在这些失败教训中，引出了许多与欧几里得几何不同的几何，诞生了一种崭新的几何学体系——非欧几何学。

>>>新体系诞生：

1899 年，希尔伯特在他的《几何基础》一书中，成功地建立了欧几里几何的完整的公理体系。

它由五组公理组成：关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理、欧几里得平行公理。

如果去掉欧几里得平行公理，则以前四组公理为基础建立起来的几何称为绝对几何。

如果用罗巴切夫斯基平行公理取代欧几里得平行公理，而前四组公理不变，则以此为基础建立起来的几何便是罗巴切夫斯基几何。

因此，绝对几何是欧几里得几何和罗巴切夫斯基几何的公共部分。

四、立体几何“四公理、三推论”

01  公理 1

● 文字描述：

经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

● 图形表示：



● 数学语言：



● 用途：

确定平面的依据。

02  公理 2

● 文字描述：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

● 图形表示：



● 数学语言：



● 用途：

判断线在面内，体现平面的“平”和“无限延展”。

03  公理 3

● 文字描述：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线 。

● 图形表示：



● 数学语言：



● 用途：

用于证明三点共线，三线共点，体现平面的“平”和“无限延展”。

04  公理 4

● 文字描述：

平行于同一条直线的两条直线相互平行。

● 图形表示：



● 数学语言：



● 用途：

平行线的空间传递性，用于证明线线平行。

三推论

Three Inference

1  推论 1

经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

● 图示及证明：



2  推论 2

经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

● 图示及证明：



3  推论3

经过两条平行线，有且仅有一个平面。

● 图示及证明：



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