矩阵微分方程的动机和意义

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矩阵微分方程的动机和意义

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-04-05 08:12 陕西

我相信你们很多人都熟悉微分方程，或者至少知道它们。微分方程是数学中最重要的概念之一，也许最著名的微分方程是布莱克-斯科尔斯方程，它控制着任何股票价格。



微分方程可以包含很多数学思想，今天我将介绍一个涉及矩阵的微分方程。在完成该解决方案的过程中，更重要的是了解我们如何处理新概念，我也尽可能地确保每个步骤都有理由和动机，以便大家能够理解我们的方法和推广。

对比是我们的有效手段，为了看到这一点，我们从一个矩阵微分方程出发：



这里我们要注意的是 r 是涉及两个分量 x(t) 和 y(t) 的向量那么从哪里开始呢？有些人可能会想将矩阵相乘，但是，这种思路可能会让我们无处可去，相反的我们把方程写成更统一的形式，可能会好很多，比方说下面这种形式：



这种形式可以帮助我们决定采取的方法，因为这种形式看起来与我们之前遇到的微分方程非常相似。我们有一个常数矩阵 A 和因变量 r 。忽略我们有向量和矩阵作为我们的系数和变量这一事实并稍微改变变量，我们首先考虑标量的形式：



其中 a 是某个常数。有多种方法可以解决这个问题。一种最简单的方法是猜测 r 用 x 表示的形式，值得一提的是这种猜测的方法几乎是我们解决微分方程唯一通用的工具，注意我们有一个与 r 成比例的 r 的导数。然后我们可以推断出一般形式为 r= Cexp(λx) 。我们可以用它代替 r ，并计算 dr/dx 来找到这里的待定系数 λ ,如果给定相应的初始条件，我们就可以找到常数 C 。那么这种方法没有理由不运用到原来的矩阵微分方程中去：同样的想法我们会猜测：



现在请注意，我们 Mexp(λt) 不可能为 0（类似于指数函数），因此我们必须让 λ+ A =0 。



但这里似乎出现了某种奇怪的形式，我们将 e 的指数部分提升为矩阵。这怎么行得通呢？但事实就是这是一个靠谱的想法，不过我们需要 exp(x) 的麦克劳林级数



大多数人只会看到 x 是一个实数，也可能是一个复数。但让 x 成为矩阵又有什么不可呢，为此我们需要首先计算矩阵 A 的一些幂以代入级数展开式。



这看起来不错。现在让我们代入麦克劳林级数中的 A 的这些幂，看看我们得到什么



希望你和我一样对这个结果感到满意。如果您想了解有关将 e 提升为矩阵的更多信息，可以查阅相关的线性代数书籍，那里有更详细的介绍。所以现在我们可以说



为了找到矩阵 M ，我们必须有 r 满足的初始条件。假设我们有条件



将这些条件代入 r 的表达式中，我们可以获得 M





我们可以将这个 M 代入 r 的表达式中，并获得微分方程的解。



多么美妙的结果啊。另外我还想快速展示一个类似的方法来求解微分方程，再次考虑我们的微分方程



让我们使用积分因子来求解这个方程。因此，我们的首要任务是找到积分因子，如果您还记得的话，它是 exp(P(x)) ，其中 P(x) 是 x 的函数，



所以这里我们的 P(x) 只是矩阵 A ，它是一个常数。



请注意，在计算积分时，我们无需担心积分常数，看起来很熟悉，不是吗？我们现在知道不要害怕将 e 提升为矩阵。那么让我们计算这个积分因子，



然后，我们将微分方程乘以这个积分因子，以获得“完美导数”，不过我们正在处理矩阵，因此不满足交换律。所以我们必须保持乘法的顺序：



这个我们需要计算一个 2 阶方阵的逆矩阵，好在并不是很困难，于是我们有：



这使我们得到一个熟悉的r表达式，并具有正确的乘法顺序：



再次利用初值条件，可以得到：



如果你能了解到矩阵指数意义和动机，那就太好了，最后感谢您的阅读，我们下期见。



围城里的猫