P 在单位圆上，θ 是辐角，P 绕原点旋转 3θ 与 P 对 y=x 作镜射结果相同，P 有几个？

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113304 請問數學

luyuanhong

题  P 是单位圆上的一点，θ 是辐角（即 OP 与 x 轴正向的夹角，0°≤θ＜360°)。线性变换

“P 绕原点旋转 3θ”与“ P 对 y=x 作镜像反射”得到相同一点 Q 。问：这样的 P 点有几个？

解  P 点辐角为 θ ，绕原点旋转 3θ ，没有说明“旋转”是逆时针还是顺时针，下面分别讨论：

（1）P 点辐角为 θ ，绕原点逆时针旋转 3θ 得到一点 Q ，Q 的辐角为 θ + 3θ = 4θ 。

    P,Q 两点关于直线 y=x 镜像对称，也就是有 (θ + 4θ)/2 = 45° + k×180°（k∈Z）。

    即 5θ = 90° + k×360° ，解得 θ = 18° + k×72°（k∈Z）。

    在 [0°,360°) 范围内，θ 有下列 5 个解：

    当 k = 0 时，θ = 18°+ 0° = 18° ；

    当 k = 1 时，θ = 18°+ 72° =  90° ；

    当 k = 2 时，θ = 18°+ 144° = 162° ；

    当 k = 3 时，θ = 18°+ 216° =  234° ；

    当 k = 4 时，θ = 18°+ 288° = 306° 。

（2）P 点辐角为 θ ，绕原点顺时针旋转 3θ 得到一点 Q ，Q 的辐角为 θ - 3θ = -2θ 。

    P,Q 两点关于直线 y=x 镜像对称，也就是有 (θ - 2θ)/2 = 45° + k×180°（k∈Z）。

    即 -θ = 90° + k×360° ，解得 θ = -90° - k×360°（k∈Z）。

    在 [0°,360°) 范围内，θ 只有下列 1 个解：

    当 k = -1 时，θ = -90°+ 360° = 270° 。

    可见，如果只考虑逆时针旋转，这样的 P 点有 5 个（辐角 18°,90°,162°,234°,306°)。

    如果还考虑顺时针旋转，则这样的 P 点还需再增加 1 个（辐角 270°)。