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P 在单位圆上,θ 是辐角,P 绕原点旋转 3θ 与 P 对 y=x 作镜射结果相同,P 有几个?

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发表于 2024-5-22 20:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
113304 請問數學

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发表于 2024-5-24 09:09 | 显示全部楼层
  P 是单位圆上的一点,θ 是辐角(即 OP 与 x 轴正向的夹角,0°≤θ<360°)。线性变换

“P 绕原点旋转 3θ”与“ P 对 y=x 作镜像反射”得到相同一点 Q 。问:这样的 P 点有几个?


  P 点辐角为 θ ,绕原点旋转 3θ ,没有说明“旋转”是逆时针还是顺时针,下面分别讨论:

(1)P 点辐角为 θ ,绕原点逆时针旋转 3θ 得到一点 Q ,Q 的辐角为 θ + 3θ = 4θ 。

    P,Q 两点关于直线 y=x 镜像对称,也就是有 (θ + 4θ)/2 = 45° + k×180°(k∈Z)。

    即 5θ = 90° + k×360° ,解得 θ = 18° + k×72°(k∈Z)。

    在 [0°,360°) 范围内,θ 有下列 5 个解:

    当 k = 0 时,θ = 18°+ 0° = 18° ;

    当 k = 1 时,θ = 18°+ 72° =  90° ;

    当 k = 2 时,θ = 18°+ 144° = 162° ;

    当 k = 3 时,θ = 18°+ 216° =  234° ;

    当 k = 4 时,θ = 18°+ 288° = 306° 。

(2)P 点辐角为 θ ,绕原点顺时针旋转 3θ 得到一点 Q ,Q 的辐角为 θ - 3θ = -2θ 。

    P,Q 两点关于直线 y=x 镜像对称,也就是有 (θ - 2θ)/2 = 45° + k×180°(k∈Z)。

    即 -θ = 90° + k×360° ,解得 θ = -90° - k×360°(k∈Z)。

    在 [0°,360°) 范围内,θ 只有下列 1 个解:

    当 k = -1 时,θ = -90°+ 360° = 270° 。

    可见,如果只考虑逆时针旋转,这样的 P 点有 5 个(辐角 18°,90°,162°,234°,306°)。

    如果还考虑顺时针旋转,则这样的 P 点还需再增加 1 个(辐角 270°)。
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