最简分数 m／n 化为循环小数后为 0.5AB5AB5AB…（循环节为 5AB），求 m 的最小值

wintex

請問數學113001

lihp2020

0.5AB5AB5AB5AB  明显 =5AB/999
999 =3*3*3*37
1/3 循环节=1
1/9循环节=1
1/27循环节=3  
37的循环节 =3  1/37=0.027027027...
5AB/999 要m最小
就是[[27/2]]/27 =14/27
[[X]] 表示往下取整+1

Treenewbee

\[\frac{500}{999}<=\frac mn=\frac{5ab}{999}<\frac{600}{599}\]
\[999=27*37\]
易知\[\frac mn=\{\frac {14} {27},\frac {16 }{27},\frac {19 }{37},\frac {20 }{37},\frac {21 }{37},\frac {22 }{27}\}\]
\[m_{min}=14\]

wintex

Treenewbee 发表于 2024-5-20 20:33
\[\frac{500}{999}

5/9算嗎？

luyuanhong

题  最简分数 m/n 化为循环小数后为 0.5AB5AB5AB…（循环节为 5AB），求 m 的最小值。

解  m/n = 0.5AB5AB5AB… = 5AB/999 。

    要 m 最小，就是要将 5AB 与 999 约去共同的因子后，使得约去后的分子尽量小。

    因为 999 = 3^3×37 ，约去的因子只能在 3 的幂次与 37（及两者的乘积）中考虑。

    先考虑 3 的幂次，因为约去后分子要尽量小，所以 3 的幂次要尽量高，只要考虑 3^3 = 27

就可以了。以 5 开头的三位数中，最小的 27 的倍数是 513 。所以这时

         m/n = 5AB/999 = 513/999 = 19/37 ，m = 19 。

    再考虑因子 37 ，以 5 开头的三位数中，最小的 37 的倍数是 518 。所以这时

         m/n = 5AB/999 = 518/999 = 14/27 ，m = 14 。

    再考虑 3×37 = 111 ，以 5 开头的三位数中，111 的倍数只有 555 。所以这时

         m/n = 5AB/999 = 555/999 = 5/9 ，m = 5 。

    但是，这时 m/n = 5/9 = 0.555555555… ，它的小数循环节只有一个 5 ，不符合题目所给的

循环节为三位数 5AB 的条件，所以这一解答应该舍去。

    其他的乘积 3^2×37 = 333 ，3^3×37 = 999 ，倍数中没有以 5 开头的三位数，不需考虑。

    综合以上分析，因为 14＜19 ，所以 m 的最小值就是 14 。