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最简分数 m/n 化为循环小数后为 0.5AB5AB5AB…(循环节为 5AB),求 m 的最小值

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发表于 2024-5-20 19:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數學113001

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发表于 2024-5-20 20:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 lihp2020 于 2024-5-20 20:58 编辑

0.5AB5AB5AB5AB  明显 =5AB/999
999 =3*3*3*37
1/3 循环节=1
1/9循环节=1
1/27循环节=3  
37的循环节 =3  1/37=0.027027027...
5AB/999 要m最小
就是[[27/2]]/27 =14/27
[[X]] 表示往下取整+1

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謝謝老師  发表于 2024-5-22 19:56
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发表于 2024-5-20 20:33 | 显示全部楼层
\[\frac{500}{999}<=\frac mn=\frac{5ab}{999}<\frac{600}{599}\]
\[999=27*37\]
易知\[\frac mn=\{\frac {14} {27},\frac {16 }{27},\frac {19 }{37},\frac {20 }{37},\frac {21 }{37},\frac {22 }{27}\}\]
\[m_{min}=14\]
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 楼主| 发表于 2024-5-20 23:37 | 显示全部楼层

5/9算嗎?
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发表于 2024-5-21 10:20 | 显示全部楼层
  最简分数 m/n 化为循环小数后为 0.5AB5AB5AB…(循环节为 5AB),求 m 的最小值。

  m/n = 0.5AB5AB5AB… = 5AB/999 。

    要 m 最小,就是要将 5AB 与 999 约去共同的因子后,使得约去后的分子尽量小。

    因为 999 = 3^3×37 ,约去的因子只能在 3 的幂次与 37(及两者的乘积)中考虑。

    先考虑 3 的幂次,因为约去后分子要尽量小,所以 3 的幂次要尽量高,只要考虑 3^3 = 27

就可以了。以 5 开头的三位数中,最小的 27 的倍数是 513 。所以这时

         m/n = 5AB/999 = 513/999 = 19/37 ,m = 19

    再考虑因子 37 ,以 5 开头的三位数中,最小的 37 的倍数是 518 。所以这时

         m/n = 5AB/999 = 518/999 = 14/27 ,m = 14

    再考虑 3×37 = 111 ,以 5 开头的三位数中,111 的倍数只有 555 。所以这时

         m/n = 5AB/999 = 555/999 = 5/9 ,m = 5

    但是,这时 m/n = 5/9 = 0.555555555… ,它的小数循环节只有一个 5 ,不符合题目所给的

循环节为三位数 5AB 的条件,所以这一解答应该舍去

    其他的乘积 3^2×37 = 333 ,3^3×37 = 999 ,倍数中没有以 5 开头的三位数,不需考虑。

    综合以上分析,因为 14<19 ,所以 m 的最小值就是 14

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謝謝陸老師  发表于 2024-5-21 10:49
113001  发表于 2024-5-21 10:49
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