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n 颗球,丢入 20 个箱子(可以有空箱),求能够保证有 4 个箱子球数相同的 n 的最大值

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发表于 2024-5-20 01:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數學113002

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发表于 2024-5-20 09:42 | 显示全部楼层
{000111222333444} -1  14个
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发表于 2024-5-20 13:34 | 显示全部楼层
  n 颗球,丢入 20 个箱子(可以有空箱),求能够保证有 4 个箱子球数相同的 n 的最大值。

解  (1)当 n = 57 时,可以做到没有 4 个箱子的球数相同。

    这时各个箱子中的球数如下:

    (0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6)。

    (2)当 n = 56 时,可以保证必有 4 个箱子的球数相同。

    首先,为了避免有 4 个箱子球数相同,而球数又要尽量少,前 18 个箱子中的球数必须如下:

    (0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5)。

    还剩下 2 个箱子和 11 颗球,这 11 颗球在 2 个箱子中的数量分布,只能有以下几种情形:

    (0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6) 。

    不管哪一种情形,必有一个箱子中的球数为 0~5 。在前面 18 个箱子中,必能找到与这个箱子

球数同为 0~5 的 3 个箱子。这样,在 20 个箱子中,就必有 4 个箱子的球数相同。

    综合上面(1)(2)的讨论可知,能够保证有 4 个箱子球数相同的 n 的最大值为 n = 56 。

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