n 颗球，丢入 20 个箱子（可以有空箱），求能够保证有 4 个箱子球数相同的 n 的最大值

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請問數學113002

lihp2020

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luyuanhong

题  n 颗球，丢入 20 个箱子（可以有空箱），求能够保证有 4 个箱子球数相同的 n 的最大值。

解  （1）当 n = 57 时，可以做到没有 4 个箱子的球数相同。

    这时各个箱子中的球数如下：

    （0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，6，6）。

    （2）当 n = 56 时，可以保证必有 4 个箱子的球数相同。

    首先，为了避免有 4 个箱子球数相同，而球数又要尽量少，前 18 个箱子中的球数必须如下：

    （0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5）。

    还剩下 2 个箱子和 11 颗球，这 11 颗球在 2 个箱子中的数量分布，只能有以下几种情形：

    （0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6） 。

    不管哪一种情形，必有一个箱子中的球数为 0～5 。在前面 18 个箱子中，必能找到与这个箱子

球数同为 0～5 的 3 个箱子。这样，在 20 个箱子中，就必有 4 个箱子的球数相同。

    综合上面（1）（2）的讨论可知，能够保证有 4 个箱子球数相同的 n 的最大值为 n = 56 。