威廉·费勒：师从希尔伯特和柯朗，并肩 20 世纪最伟大的概率学家

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威廉·费勒：师从希尔伯特和柯朗，并肩 20 世纪最伟大的概率学家，他的两卷神作至今影响着全世界的数学家！

威廉·费勒，克罗地亚裔美国数学家，20 世纪最伟大的概率学家之一。师从著名数学家希尔伯特和柯朗，年仅 20 岁就获得哥廷根大学的博士学位。在生灭过程、随机泛函、可列马尔可夫过程积分型泛函的分布、布朗运动与位势、超过程等方向上均成就斐然，对近代概率论的发展做出了卓越贡献。

特别是他的两本专著（《概率论及其应用》，共 2 卷），曾影响了世界各国几代概率论及相关领域的人士。

来源 | 《概率论及其应用（卷1·第3版）》

作者 | [美]威廉·费勒（William Feller）

译者 | 胡迪鹤

摘自 | 第 0 章 绪论：概率论的性质

概率论是一门数学学科，它与几何学或分析力学等学科有很相似的目标。对每一门学科我们都必须仔细地区分理论的三个方面：(a) 形式逻辑的内容；(b) 直观的背景；(c) 应用。不按这三方面之间的固有关系去考虑它们，就不能正确估计其全部结构的特性和优点。

1  形式逻辑的内容

公理化的数学只论及某些无定义的事物之间的关系。这一点可以用下国际象棋来很好地说明。要想描述国际象棋，只能陈述一组下棋规则，不可能给象棋下一个“定义”。尽管可以描写一下棋子的一般形式，但仅凭对棋子本身形状的描述不一定能清楚地说明哪个棋子是王。

虽然棋盘和棋子是有用的，但没有它们仍然可以下棋。重要之处在于了解棋子的走法与作用，也就是要了解一组棋规。问国际象棋中的“兵”或“王”的“定义”或“精确的本性”是什么，这没有意义。

与此类似，在几何学中我们也不会过问点和直线到底是什么。点和直线是无定义的概念，而几何公理规定了它们之间的一些关系，例如两点确定一条直线等。这些就是规则，没人提出异议。

我们可以改变公理系统去研究不同形式的几何，而且各种非欧几何的逻辑结构不依赖它们与现实的关系。物理学家就曾研究过在不遵循牛顿的万有引力定律情况下物体如何运动。即使牛顿的万有引力定律是正确的，这种研究也是有意义的。

2  直观的背景

与国际象棋不同，几何学和力学的公理反映了客观存在着的直观背景。事实上，几何的直观性是如此之强，常常超越逻辑推理。逻辑、直观与实际经验三者之间的相互依赖性会达到怎样的高度，这个问题我们不需要去讨论。当然，人们的直观能力是可以锻炼和发展的。

例如下棋时，初学者总是小心翼翼，走棋时还要想一想下棋的规则；而有经验的棋手在一瞥之间就能掌握复杂的情况，他的直觉往往不能用理由来解释。同样，数学直觉随着经验增加而增加，人们有可能对于一些概念（例如四维空间）的发展有一种自然感觉。

甚至人类的集体直观能力也在进步。牛顿的力场概念、超距作用的概念、麦克斯韦关于电磁波的概念，起初都被认为是“不能想象的”和“违反直观的”。但现代技术和媒体、通信的普及，使得这些概念成为一般语汇。

同样，现在的学生不会体会到，当概率论还在萌芽的时候，它与某些思维方式、偏见及其他困难的斗争是多么艰苦卓绝。现在，报纸报道民意测验的样本，统计的影响已经渗透到生活的各个方面，年青的女孩们也会从统计数字中查看自己结婚的可能性。

于是对于“这个事件的机会是五分之三”这样的陈述，人人都有了直观的感觉。这虽然很模糊，但此直观感觉足够作为概率论入门的指南和背景。随着理论的发展，以及人们接触到一些更为微妙的应用，这个直观能力还要得到进一步发展。

3  应用

应用几何学和力学的概念时，要把它们与某些物理对象等同起来，但是这个结合过程非常灵活，且变化无常，不能给出普遍的法则。刚体是个基本的、有用的概念，虽然没有一个物理对象真正具备它的条件。哪些物体能当作刚体来处理，要视其所处环境和所需要的近似度来决定。

橡胶当然不是刚体，但是在讨论汽车在冰上运动的时候，许多教科书是把橡胶轮胎当作刚体来处理的。按照理论的目的，我们可以不管物质的原子结构，有时把太阳当作一个连续物质的大球来处理，有时又把它当作一个质点来处理。

在应用中，抽象的数学模型只是当作工具来使用的，而对同一实际场合可以采用不同的模型来描述。数学理论的应用方式不依赖于事先形成的意见，它是一个有目的的技术，依赖于经验，而且随着经验改变。

这些技术的哲学分析是值得研究的，但它不属于数学、物理学或统计学范畴。因此，必须把关于概率基础的哲学从数学和统计学中分离出去，犹如关于直观空间概念的讨论，现在已经从几何学中分离出来一样。

4  方法与步骤

概率论的历史（一般数学史亦然）呈现出理论和应用相互促进的现象：理论的进展开辟了应用的新领域，反过来每一个新的应用又产生出新的理论问题和富有成果的研究。目前概率论已应用到很多领域，而我们要求它具有一个普遍性理论的灵活性，以便对广泛的需求提供恰当的工具。

因此我们必须反对下述企图（和趋向）：把其理论、术语及思想库建立得过分接近于某一特殊兴趣范围。我们所要做的绝非如此，而是要按照在几何学和力学中已经证明为十分成功的方式来发展出一种数学理论。

我们先从扔硬币和掷骰子等最简单的实验出发，在这些场合，所有的陈述都有着明显的直观意义。我们把这个直观性翻译成一个抽象的模型，然后把这个模型加以推广，使它能够适用于更复杂的场合。

书中的实例用来阐明几种模型的实证背景并启发读者的直观能力，但理论本身还是数学性质的。我们不力求解释概率的“真正意义”，正如近代物理学家不纠结于阐明质量和能量的“实在意义”，几何学家不纠缠于解释点的性质那样。我们将要做的就是证明一些定理，并指出这些定理该怎样应用。

最初，概率论的目的是描述有关机会游戏的经验，这是一个狭窄的领域，这时的主要目标只是把某些概率计算出来。在开始的几章里，我们也计算一些典型的概率，但是要记住数值的概率不是理论追逐的主要对象，我们的目的在于发现一般的规律并构造出满意的理论模型。

概率对我们所起的作用正如质量在力学中所起的作用。在力学上，即使不知道个别行星的质量，不去思考实际上测量这些质量的方法，也照样可以讨论行星体系的运动。甚至虚构的行星体系也可以作为一个有益的、有启发的研究对象。

类似地，一些实际且有用的概率模型也会涉及一些不能观察到的世事。例如，我们已经投资几十亿美元建设电话交换系统，前期的调研会根据简单的概率模型比较多种方案，然后选用理论上最优的系统，而放弃其他方案。在保险业中，概率论用来计算毁灭概率，就是用这个理论来避免某些不期望发生的情形。因此，它应用到一些实际上观察不到的情形。即使连一个数值都得不到时，概率论仍然是有效和有用的。

4  “统计”概率

近代概率的数学理论成就是有代价的，那就是把理论局限在“机会”的某一特殊方面。概率的直观概念与归纳推理产生了联系，并经常得出一些判断：“保尔大概是一个幸运的人”“这本书大概是一部失败之作”“费马的猜测大概是不正确的”。这类判断是哲学家和逻辑学家感兴趣的，也是数学理论研究的对象。

然而必须了解，我们所关心的不是归纳推理的形态，而是一种可以叫作物理概率或者统计概率的事物。粗略解释这句话的意思，可以这样说：我们所说的概率不是关于这些判断，而是关于一个理想实验的可能结果。在我们谈到概率之前，大家必须先承认一个特殊理想实验的想象模型，譬如扔硬币，甚至抽样观察兴奋的袋鼠，观察扩散物中一个质点，记录打来电话的次数。

一开始就需承认什么是这个理想实验所有的可能结果（即样本空间）以及它们各自发生的概率。这种构想可以在力学里找到类似情况：在力学里引入了包含 2 个、3 个或 17 个质点的臆想模型，其中质点并没有任何特性。同样，如果来分析扔硬币的实验，理论的对象只是“正面，正面，反面，正面，……”这些记号的序列，而不关心实际实验的偶然情况。在这个体系里，像“明天太阳将升起的概率是多少”是不在考察之列的。

假使要讨论这个概率，我们势必先来确定一个实验的（理想）模型，而这个实验不免要被说成“从无穷多个存在中随机地选取一个……”。构造这样一个模型其实也不需要多大的想象力，但是这样做很无聊而且毫无意义。

天文学家谈论测量太阳中心的温度和到天狼星去旅行。这些似乎是不能办到的，但是做这种思考并不是没有意义的。同理，我们也不去关心理想的实验能否实现，而要分析抽象的模型。在我们的思想深处，保持着概率的直观解释，这种解释在某些应用中能够获得实施的意义。

我们想象把实验重复做很多次。概率为 0.6 的事件终究可以期望在 100 次里出现 60 次。这句话是有意含糊其词的，但是，对于较为初等的应用来说，它提供了足够形象的直观背景。随着理论更精深地发展，实用意义和直观图像就变得更具体了。

5  摘要

我们将要考虑一些理论模型。在这些模型中，概率像力学中的质量一样，是作为自由参数出现的。可以用各种各样不同的方法来应用它们，应用的技巧和直观能力随着理论的发展而发展。

这是其他数学学科中所采用的富有成效的标准手法。没有其他的手法可以满足正在蓬勃发展着的概率论及其应用的各个分支的各种各样的需要。

我们可能会抱怨，直观的概率不能充分满足科学的需要，但是它是历史形成的。在 1.6 节例 (b) 中，我们将要讨论多个质点在多个盒里随机分布的问题。适当的或者“自然”的概率分布对每个人来说似乎是完全清楚的，并且可以被物理学家毫不犹豫地接受。

然而事情表明，物理质点的概念在人们意识中是没有经过训练的，而“自然”分布（或玻耳兹曼分布）有时必须代以波司–爱因斯坦分布，有时又必须代以费米–狄拉克分布。直观论证不能说明为什么光子不同于质子，为什么它们不遵从“预先给定”的规律。

如果现在能找到一种论证，那也只能说明直观概念和理论一起发展罢了。无论如何，对应用来说，自由和灵活都是重要的，而且把理论局限在一个固定的范畴里是不利的。

有人叫嚷现代概率论是如此抽象和普遍化，以致难于应用。这类似于讲求实用的人们当初曾经反对麦克斯韦场论的挑衅口吻。这个论点可以被下列事实所驳倒：抽象的随机过程理论提供了一些未曾想象过的新应用，现代的起伏理论所提供的新的视野又一次地与直观想象相违背，并且使人们去修正对实际的态度。然而，这种辩论是没有用处的，在昨天还认为是不合实际的东西今天就是实际的东西了，而明天将要成为理论的东西又被今天注重实用的人们认为是毫无价值的游戏。

6  历史小记

对概率的统计或经验观点主要是由冯·米泽斯和费希尔发展的。样本空间[100]的概念是由冯·米泽斯引进的。这个概念使得有可能把概率的严格的数学理论建立在测度论 上。在 20 世纪 20 年代中，在许多作者的影响下，概率论的测度论方法逐渐形成。现代概率的公理化处理，是由柯尔莫哥洛夫给出的。

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来源：遇见数学

威廉·费勒 中国科学院数学与系统科学研究院 2024-04-18 10:24 北京