哥德尔和他的数学避难所

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哥德尔和他的数学避难所

原创 朱舒 朱舒 2024-04-12 17:30 广东

0、他是继亚里士多德之后最伟大的逻辑学家，即便在诺奖扎堆的普林斯顿大学，他的才华和成就也鲜有人比拟。爱因斯坦曾说，晚年，他已经没有什么感兴趣的研究工作，但每天仍要去办公室，为的就是得到和哥德尔下班后一起回家的殊荣。

1、哥德尔出生在 20 世纪，他没赶上希尔伯特世纪之交的演讲。在6年之后，他才出生在维也纳北边的小镇布吕恩。

2、哥德尔在这里度过了人生最初的18年，这个时期正值第一次世界大战前后，但是他的生活富裕而安宁，这得益于布吕恩蓬勃发展的纺织业，也得益于上两辈的努力。

3、家世要从外公说起，哥德尔的外公出身贫寒，但吃苦耐劳，从基层做到纺织巨头舒乐集团布吕恩分公司的负责人；父亲的经历相似，也做到当地纺织厂的经理。

4、父亲没读过什么书，也不善表达，但对妻儿关怀备至且耐心大度，和天底下绝大部分父亲一样，他会尽力满足孩子的所有愿望，而且非常慷慨的支持孩子去维也纳求学。

5、母亲是德裔中产的典型代表。在法国读过书，还学了不少育儿经验。当时，在自由开明价值观影响下的奥匈帝国，也正在催生强调创造性思维的教育改革，注重培养孩子的好奇心。这就是哥德尔从小受教育的大小环境。

6、哥德尔还有个大自己4岁的哥哥鲁迪，两人关系很好，总是形影不离一起玩耍。他们经常在一起玩“如果我是”的游戏，畅想自己未来的职业。

7、哥德尔 4 岁时，家人给他起过一个外号：“为什么先生”。因为他“总有问不完的问题，总想打破砂锅问到底”。

8、哥德尔就读于当地的一所路德教会小学，4 年的学校生活中，经常因为生病而请假。8 岁患了严重的风湿病，后来还做了阑尾切除手术。所以，哥德尔算是个文弱书生。不过，身子弱是弱，可脑子好使啊，经常请假，成绩却是全优；8 岁就可以阅读有关自己疾病的医学书籍来给自己治病。

9、1916 年，他进入帝国皇家国立德语实科中学。实科中学是奥地利19世纪教育改革的产物，高中阶段三种升学体系之一，会教授不少大学预科课程。哥德尔在实科中学待了 8 年，所学的课程包括拉丁语、法语、德语、数学、物理、化学、地理、历史、博物等，哥德尔还选择了英语和速记。在这里，学业成绩依旧全部优秀。



10、哥德尔 14 岁就沉迷于数学和哲学，他自学了微积分和大学阶段的数学专业课，更重要的是，这个阶段他读了很多歌德、康德的作品。他说：歌德的传记引发了他对歌德与牛顿在色彩理论上论战的浓厚兴趣，并间接引导他后来走上学术道路，他确信自己有能力独立弄清楚各种各样的事物。所以，在15岁左右的青春时期，他就定下了自己人生的终极理想：追求认知上的愉悦！

11、1919 年，哥哥搬去维也纳，开始在维也纳大学学习医学。1924 年，哥德尔也进入维也纳大学读书，搬进了哥哥的宿舍。

12、当时的维也纳大学已经有 500 年历史，科学已经完全渗入了维也纳的血脉，而且学风自由，是探究学问的绝佳之地。

13、最初，哥德尔想研究物理，大学前两年，他学了很多物理课程，每天都安排得满满的。1926-1927 年，也就是差不多大三的时候，哥德尔开始把学习的重心转向数学，有可能是受到魅力非凡的数论学家菲利普-富特文勒课程的影响，也有可能是觉得当时物理学的逻辑混乱。

14、哥德尔当时还做过一个自我反思，他痛斥自己干什么都浅尝辄止、干什么都草草了事，他认为对他人价值观的依赖是源自于对自我价值观的不自信。但事实上，但凡与哥德尔共事过的人都会惊讶于他渊博的学识，只要是他好奇涉足的领域，只要是他想认真对待的问题，他都能取得丰硕的成果。

15、一转眼，到了 1928 年，又到了国际数学大会的日子，又到了希尔伯特的演讲，又到了提出数学问题的时候。这次，希尔伯特提出了 4 个亟待解决的数学根基问题。

16、关于这点，要补充一些背景知识。

17、1884 年，数学大师弗雷格发表了一本巨著《算术基础》，旨在定论整个算术系统，所图甚大。这时，罗素提出了罗素悖论：一个给所有不自己刮脸的人刮脸的理发师应该给自己刮脸吗？直接挑战了《算术基础》以及数学的完备性。而后，希尔伯特出手，他号召大家重整数学基础，他坚信可以建立一个完备的数学体系，即所有数学问题都可以证明对错。这时，罗素也从一个挑战者变成了拥护者，他花了 20 年写了一部《数学原理》来力挺希尔伯特。1928 年夏天，哥德尔花了 385 捷克克朗（相当于 150 美金），购买了《数学原理》的第一卷，然后一个暑假哪都没去，就窝在家里废寝忘食，把书读完了，大失所望中灵感迸发。

18、1929 年，在希尔伯特宣布新的 4 个数学根基问题不到半年，哥德尔就提交了自己的毕业论文。这篇《论逻辑演算的完备性》被称为哥德尔完备性定理，只有2页纸，让哥德尔获得博士学位。

19，再过大半年后的 1930 年，哥德尔又提出不完备性定理，1931 年正式发表为《论<数学原理>及相关系统的形式不可判定命题》，他证明了：对于任何一个数学公理系统中，都必然存在在该系统内无法被证明的真命题。

20、他把数学公理、数学定理的证明，通过操作变成一个独一无二的“哥德尔数”，然后，设置一个规则：所有的公理用素数代表，所有用公理推导出来的定理和命题用合数代表。然后，他构造了一个自我矛盾的数学命题：“哥德尔数为 g 的命题是不可由系统中的公理证明的”。这条命题是真命题还是伪命题？如果是伪命题，也就是说这个命题是可以被推导出来，g 是合数；g 是合数，又说明了这个命题是可以被推导出来的，是真命题。真的结果就是：它不可以通过系统中的公理证明，这样 g 又成了一个素数。感叹一句：数学的终点是语文！

21、他终结了一个世纪以来所有试图将数学公理化的尝试。这个结论被公认为20世纪数学领域最重要的真理。他直接回答了希尔伯特的第四个问题，同时也证明了希尔伯特的前三个问题无法解决。这时，哥德尔 24 岁。

22、哥德尔不认为自己的发现颠覆了希尔伯特理论，它仅仅意味着我们需要更努力地运用人类的智慧，在现有的基础上探索出新的道路，去发现那些亟待发现的真相。

23、他通过不完备性定理获得了教职。1933-1939 年，开始在维也纳大学开课，讲过算术基础理论、数学逻辑、公理集合论等，期间，他去普林斯顿高等研究院访问多次，和爱因斯坦成为朋友。

24、1938 年，哥德尔和认识了十年的阿黛尔结婚，母亲极力反对（父亲 1929 年因疾病去世），因为阿黛尔是一位离过婚的舞女，还比哥德尔大 6 岁。这不是家人第一次反对他的交往对象，曾经还有一次，是在哥德尔大学期间，约会过另一个比他大 10 岁的女性。了解哥德尔的晚年生活，我们就能理解，哥德尔是个内心脆弱的孩子。

25、1939 年，第二次世界大战爆发，他担心自己的身子弱，无法参军；也不能忍受经常被当作犹太裔不公对待。1940 年，移居美国，加入普林斯顿工作，后获得终身教职。

26、晚年，他深受精神顽疾之苦。他说他自己一生的所有成就和学术贡献都是消极的，他总是在证伪可能性，而不是在证真可能性。在普林斯顿，他患上强烈的自我怀疑，迫害妄想，害怕中毒，他只相信阿黛尔尝过的饭菜。在阿黛尔一次住院期间，哥德尔拒绝吃东西，最终饿死，当时体重只有 65 磅（不到 60 斤）。

27、哥德尔曾经总结学习数学的经验。

● 思考数学的方式，犹如到一个充满数学对象的神秘世界里遨游一般。一个人必须设法切断所有不必要的感官，然后用思想和意念直接感受数字、无穷集合，以及其他存在于“纯抽象”世界中的“客观而绝对”的东西。不能让“日常生活中的常识混入，也不能只考虑物理对象之间的相互组合与置换”。

● 在面对数学定理时，无论它看上去多么微不足道、多么琐碎，只要反复阅读和思考，就一定能有所得。

● 在探索无人涉足的领域时，要对成功有百分之百的信心，这样才不会被眼前的问题似乎“毫无实际意义”的负面情绪压倒。

● 研究数学，就是要矛盾地兼顾谦虚与自负，并在两者之间寻求平衡。

28、现实世界的纷乱时常让哥德尔充满焦虑，数学领域的纯粹逻辑才是他凝神静气的良药。

29、哥德尔经常感怀无忧无虑的童年生活，他觉得那是他人生中最幸福和安全的时光。

30、或许，身体孱弱的哥德尔，只有在抽象的数学天地，才能逃避现实中战争、矛盾、痛苦和烦恼，而找到童年时的安全感。数学是他的避难所。