哈代是如何发现拉马努金的？

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哈代是如何发现拉马努金的？

作者：Béla Bollobás 来源：ECONOMICS RULES 2024-04-10 11:38 重庆


Srinivasa Ramanujan (middle) with fellow scientists at Cambridge.

纵观数学史，没有一个人与斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）有丝毫相似之处。毫无疑问，他是一位伟大的数学家，但如果他只是接受了良好的大学教育，并在他的领域得到了一位优秀教授的指导，我们就不会有关于他的电影了。

随着时间的流逝，我越来越钦佩拉马努金在与任何顶尖数学家接触之前在印度所做的惊人工作。不是因为他当时得到的结果改变了数学的面貌，远非如此，而是因为，他独自工作，无畏地攻克了许多重要的和一些不那么重要的分析问题，特别是数论问题——而这仅仅是出于对数学纯粹的热爱。



然而，拉马努金的导师戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy）在他的人生故事中所扮演的角色不容低估。这位剑桥数学家不知疲倦地与这位印度天才一起工作，在当时对该领域的理解中发现了他的创造力。只有在哈代的关心和指导下，拉马努金才成为我们今天所知道的学者。

坚定而痴迷

1903 年 12 月，16 岁的拉马努金通过了马德拉斯大学（University of Madras）的入学考试。但是由于他专注于数学而忽略了所有其他科目，他在第二年之后就没有进步。1909 年，他与一名 9 岁的女孩结婚，但直到 1912 年初，他才获得稳定的收入。1912 年初，他以微薄的工资成为马德拉斯港口信托办公室的一名职员。

在此期间，拉马努金一直痴迷于数学，并不断研究连分数、发散级数、椭圆积分、超几何级数和素数分布。到 1911 年，拉马努金迫切希望得到顶尖数学家的认可，尤其是英国的数学家。因此，1913 年初，当他刚过 25 岁时，他给剑桥的哈代写了一封信，信中列出了他的一长串发现——这封信改变了他们两人的生活。

尽管收到拉马努金的信时只有 36 岁，哈代已经是英国首屈一指的数学家。20 世纪上半叶，英国数学界被哈代和三一学院（Trinity College）的另一位泰斗利特伍德（J.E. Littlewood）所主宰。两人组成了一个传奇的合作伙伴关系，直到今天都是独一无二的，共同撰写了令人震惊的 100 篇论文。他们帮助英国成为数学超级大国，尤其是在数论和分析方面。

哈代并不是第一个收到拉马努金研究成果的数学家，然而他收到的前两封信都认为拉马努金是个怪人。但哈代不仅是一位杰出的数学家，他还是一位出色的教师，渴望培养人才。

天才未知

一天晚上，在三一学院吃过晚饭后，一些人去了休息室。在喝葡萄酒时，哈代向利特伍德提到了他从一个不知名的印度人那里收到的邮件。有些命题他们很了解，有些命题他们可以证明，有些命题他们可以反驳，但他们发现许多命题不仅有趣、不寻常，而且无法解决。

哈代和利特伍德之间的这种往来持续了一天又一天，很快他们就确信他们的通信人是个天才。因此，哈代给拉马努金写了一封令人鼓舞的回信，这促进了更为频繁的书信往来。

哈代很清楚拉马努金是非同寻常的，然而，尽管他在数学方面有惊人的成就，但他缺乏职业数学家的基本工具。哈代知道，如果拉马努金要发挥他的潜力，他必须有坚实的数学基础，至少与剑桥最好的毕业生一样。

哈代邀请拉马努金来剑桥是为了拉马努金，但由于种姓偏见，拉马努金没有接受这个机会，这让哈代大吃一惊。作为婆罗门（Brahmin），拉马努金不被允许横渡海洋，他的母亲也完全反对这次航行。1914 年初，拉马努金得到母亲的同意后，哈代开始行动。他请三一学院的另一位同事 E·H·内维尔（E. H. Neville）为拉马努金争取到马德拉斯大学的奖学金。内维尔碰巧去了马德拉斯。内维尔在给学校的一封信中写道：“马德拉斯的 S.拉马努金的天才的发现将是我们这个时代数学界最有趣的事件……”

拉马努金在内维尔的陪伴下乘船前往英国，并于 1914 年 4 月抵达剑桥。

无畏的指导

我不得不钦佩哈代在指导拉马努金时的细心。他主要担心的是如何在不摧毁他的信心的情况下教给这位惊人的天才很多数学知识。哈代最不想看到的就是削弱拉马努金解决最困难问题的无畏精神。引用哈代的话:

他知识的局限性与其深刻性一样令人吃惊。这个人可以算出前所未闻的模方程和复数乘法定理，他对连分数的掌握至少在形式方面超过了世界上任何一位数学家……要求这样一个人接受系统的教育，重新尝试从头学习数学是不可能的。

另一方面，有些事情他不可能不知道……所以我不得不试着教他，在某种程度上我成功了，尽管我从他那里学到的显然比他从我这里学到的多得多。

在将近三年的时间里，一切都非常顺利。1916 年，拉马努金获得了剑桥大学的文学学士学位，他的研究越来越深入。在哈代的大力帮助下，他发表了一篇又一篇优秀的论文。他们还合作了几个伟大的项目，并发表了精彩的合作论文。不幸的是，1917 年春天，拉马努金病倒了，在他留在剑桥的剩余时间里，他经常出入疗养院。



到 1919 年初，拉马努金似乎已经完全康复，并决定返回印度。哈代很长时间没有收到他的来信，这让他很担心。但 1920 年 2 月的一封信明确显示，拉马努金在研究方面非常活跃。

拉马努金的信中包含了一些他最新发现的例子，mock theta functions ，这被证明是非常重要的。关于它们的一个主要猜想在 80 年后得到了解决，这些函数现在被视为数学中一大类模拟模形式的有趣例子，它们在椭圆曲线、Borcherds 乘积、Eichler cohomology 和 Galois representations 以及黑洞的性质方面都有应用。

遗憾的是，拉马努金的复苏是短暂的。1920 年 4 月 26 日，他的疾病复发并导致年仅 32 岁的他死亡，留给他享受皇家学会和三一学院奖学金的时间很短。

拉马努金在其巅峰时期去世对数学界是一个巨大的打击。像他这样的人可能再也见不到了，哈代和拉马努金建立的这种伙伴关系当然也不会再出现了。