雅各布·伯努利花了 20 年时间来完善这一理论，而它最终成了统计学的支柱理论之一

luyuanhong

雅各布·伯努利花了 20 年时间来完善这一理论，而它最终成了统计学的支柱理论之一

原创 马里奥·利维奥 图灵新知 2024-04-08 19:00 北京



如果持续不断地观察从现在直到永远发生的所有事情（因此，概率可能最终是确定的），我们就能发现，世界上所有的事情都有其必然的原因，并且绝对遵循某些确定的法则。所以说，我们自己，甚至那些看起来十分偶然的事件，都要受到某种自然规律的制约，而这似乎是命中注定的。我知道，柏拉图在关于宇宙循环学说中曾经提及这个观点，他认为，在经历了无穷的时间之后，所有事物都将会回到它们的本源状态。

——雅各布·伯努利

概率论和统计学在处理大样本事件时才会有意义，它们从来不是用来解决个体问题的。这一基本认识就是著名的大数定理，雅各布·伯努利在他所著的《推测的艺术》一书中进行了系统的阐述。

简而言之，大数定理表明，如果某一事件发生的概率是 P ，那么对于所有实验，P 是事件发生最有可能的比例，而且如果实验次数接近无穷的话，那么事件发生的概率确定无疑就是 P 了。伯努利在《推测的艺术》一书中这样介绍大数定理：“还需要进一步研究的是，增加观察次数能否让有利事件与不利事件的比例更接近真实的比例。”

伯努利随后使用了一个特别的例子解释了这一概念：

“假设我们有一个罐子，里面有 3000 块白色的鹅卵石和 2000 块黑色的鹅卵石。假如我们事先并不知道这个罐子里究竟有多少块鹅卵石是黑色的，有多少块是白色的，而我们又想通过实验得出罐子里黑色与白色鹅卵石的比例，应当怎么做呢？我们可以从罐子里一个接一个地取鹅卵石，并把每次取出的石头颜色记录下来，最后看看到底有多少次取出了黑色的鹅卵石，有多少次取出了白色的鹅卵石。（在这里，我要提醒的重要一点是，在取石头的过程中，当你取出一块鹅卵石并记录下颜色后，就应当把它放回到罐子里，然后再继续取，再放回去，这样，罐子中鹅卵石的数量就总是一个常数。）现在我们要问，如果你能无限地取下去，例如次数为 10,100,1000,…，同时时间也是无限的（最终达到‘确实的确定’），那么，取出白色鹅卵石和取出黑色鹅卵石的比例数值是否与罐子中石头的实际比例相同呢？或者，这是另一个不同的数值？如果答案是不相同的话，那么我承认，要通过观察来确定每种情况发生的次数（如罐子中黑色鹅卵石与白色鹅卵石的数量），可能会失败。但是，如果我们能用这种方法实现‘确实的确定’……那么就能非常精确地断定一种后验情况发生的次数，就好像这是我们已知的一种先验情况。”

雅各布·伯努利花了 20 年时间来完善这一理论，而它最终成了统计学的支柱理论之一。伯努利认为，那些表面看上去只是碰运气的事情，事实上也遵循支配性的法则。他最终以这种信仰作为著作的结束语：

“如果持续不断地观察从现在直到永远发生的所有事情（因此，概率可能最终是确定的），我们就能发现，世界上所有的事情都有其必然的原因，并且绝对遵循某些确定的法则。所以说，我们自己，甚至那些看起来十分偶然的事件，都要受到某种自然规律的制约，而这似乎是命中注定的。我知道，柏拉图在关于宇宙循环学说中曾经提及这个观点，他认为，在经历了无穷的时间之后，所有事物都将会回到它们的本源状态。”

关于不确定性科学的故事，结局十分简单：数学在某些方面甚至可以应用在生活中那些不太“科学”的领域中，包括表面看来完全是由运气支配的领域。因此，在试图解释数学“无理由的有效性”时，我们不能把注意力仅仅局限在物理规律上。相反，我们最终可能不得不以某种方式弄清究竟是什么原因让数学无处不在。

数学那令人难以置信的力量在著名剧作家和散文作家乔治·萧伯纳（George Bernard Shaw，1856—1950）的笔下仍然颇具威力。萧伯纳绝对不是因为他的数学才能而闻名的，但是，他曾经写过一篇关于统计学和概率论的文章，这篇文章的观点极为深刻，题目为《赌博的邪恶和保险的美德》。在这篇文章里，萧伯纳承认，对他来说，保险是“建立在那些无法解释的事实，以及只有专业数学家才能计算的冒险的基础之上”。然而紧接着，他又写下了下面这段含义丰富的文字。

试想有一场商业谈判，一方是一位希望做国际贸易的商人，但他极度害怕会遭遇海难或被野蛮人给吃了；另一方是一位船长，他希望有大量的货物和乘客。船长回答商人，他的货物会十分安全，并且，如果他随船出海的话，他本人也同样安全。但是这位商人满脑子都是约拿、圣保罗、奥德修斯和鲁滨逊，不敢去冒险。他们之间的交流可能是这样的。

船长：放心！我保证，如果你乘坐我的船出海，明年的今天你还会好好地坐在这里。我可以和你打赌，赌注多少都行。

商人：但如果我和你打赌，我赌我在这一年里会死。

船长：你肯定会输的。你为什么不赌自己会活下来？

商人：但如果我被淹死了，同时你也会被淹死，那么我们还怎么赌？

船长：这样的话，我会找一个没有出海的人，他将和你的妻子及家人打赌。

商人：这改变了游戏规则。但是我的货物该怎么办？

船长：啧，这个赌也可以包括货物啊。或者我们打两个赌：一个是赌你的生命，另一个是赌你的货物。我向你保证，这两样都会很安全，什么意外都不会发生，而且你还会看到海外的瑰丽风光和奇观异景。

商人：但如果我和我的货物全部都安全的话，我还得额外再为我的生命和货物安全付给你一大笔钱。就算我没有被淹死，也会破产的。

船长：这的确是事实。对我来说，这笔钱并不像你想象的那么重要。如果你被淹死了，我可能是第一个被淹死的人，因为如果船沉了，我肯定是最后一个离开船并获救的人。无论如何，我还是劝你去冒个险。这样吧，我和你赌 10 倍的赌注，这能让你动心吗？

商人：嗯，这样的话……

这位船长已经认识到了保险的概念，正如金匠发现了银行的意义一样。

对某些人来讲，诸如萧伯纳，他们抱怨在自己所接受的教育中，“从来没有一个人就数学的意义或效用提过哪怕一个字”。而这段幽默的文字描述了关于保险的数学“历史”，很能说明问题。

到目前为止，除了萧伯纳的文章外，我们已经或多或少地透过数学家的眼睛看到了数学的某些分支的发展。对于这些人，以及如斯宾诺莎等众多理性主义哲学家而言，柏拉图主义是明摆着的事实。毫无疑问，数学真理存在于它们自己的世界，而且，人类思维仅仅通过推理的力量就能接近这些真理，而不用观察任何现象。

推荐阅读



作者：[美] 马里奥·利维奥（Mario Livio）

译者：黄征