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x1,x2,…,xn 之和为 pq,可分为和相等的 p 组,又可分为和相等的 q 组,求 n 的最小值

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发表于 2024-5-2 01:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
一道预赛压轴题,如图

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发表于 2024-5-19 20:38 | 显示全部楼层
这两天分析,没有完全解决此问题,但是有了一定进展,并有下一步的思路:
我没有研究过图论,所以此题我就按照通常思路,从最基本的理论开始分析。可能有一些繁琐。
一、已经证明,对于任意给定的p, q, 满足q > p且 (p , q) =1;那么必定存在p+q-1个自然数,满足分组A:q个p;以及满足分组B:p个q。这个通过辗转相除法,以及构造归纳证明得出结论。

二、但是p+q-1是否是最少的数?这个我还在确定一些细节。现在的思路如下:
        1、对于任意一个分组A(q个p)和分组B(p个q),总可以通过逐步调整方法,保持总的数字的数目不增加,保持q个p和p个q的要求,并且B分组中p行数据中,每一行都至少有一个数字p。那么我可以通过迭代和数学归纳法证明,p+q-1就是最少的数目。
        2、现在正在确定1部分的一些细节。

三、对于p, q的一些特殊形式,比如q = p*k + 1或q = p*k - 1时,结论成立。这个相对好证明。
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 楼主| 发表于 2024-5-13 22:59 | 显示全部楼层
恳求老师们的答复
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 楼主| 发表于 2024-5-15 18:01 | 显示全部楼层
恳求老师们的答复
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发表于 2024-5-15 19:06 | 显示全部楼层
我这2天看看,周末给你一个答复。
其它大侠有时间也可看看。
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 楼主| 发表于 2024-5-17 06:50 | 显示全部楼层
cgl_74 发表于 2024-5-15 19:06
我这2天看看,周末给你一个答复。
其它大侠有时间也可看看。

感激不尽!
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发表于 2024-5-17 12:22 | 显示全部楼层
这是数论竞赛题?
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 楼主| 发表于 2024-5-17 18:07 | 显示全部楼层
wilsony 发表于 2024-5-17 12:22
这是数论竞赛题?

他标答给的是图论解法,但是我很好奇他是否有代数解法
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发表于 2024-5-17 18:39 | 显示全部楼层
abc666zs 发表于 2024-5-17 18:07
他标答给的是图论解法,但是我很好奇他是否有代数解法

能把标答给的图论解法,   拿出来大家分享分享?  谢谢!
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 楼主| 发表于 2024-5-18 23:51 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-5-17 18:39
能把标答给的图论解法,   拿出来大家分享分享?  谢谢!

记分成的组数为u1,u2……u41。v1,v2……v49,若存在xk同时属于ui,vj,便在ui,vj间连一条线,得简单图G,对于G的最大连通分支G’,设G’中含有a个顶点ui,b个顶点vj,则所有出现在ui中的项必同时出现在vj(否则G’非最大连通分支),有49a=41b,所以a+b≥90,n≥89。当x1=……=x41=41,x42=……x81=8,x82=……=x89=1时取等
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 楼主| 发表于 2024-5-18 23:53 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-5-17 18:39
能把标答给的图论解法,   拿出来大家分享分享?  谢谢!

老师,因为我暂时还没有深度的学习图论,所以里面的一些专业术语我不是很懂,原理也并非很明确,可能存在笔误,请多多包涵
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