统计学入门（13）: 正态分布

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统计学入门（13）: 正态分布

原创 黄宝荣 语言科学漫谈 2024-04-01 16:17 湖南

01  引言

正态分布（Normal distribution），又称高斯分布或钟形曲线，是一种常见的概率分布，其具有对称性和集中趋势等特点。正态分布在自然科学和社会科学中广泛存在，是统计学中最重要的概率分布之一，在统计推断、参数估计、质量控制等领域有着广泛的应用。下面让我们来详细了解一下。

02  正态分布的历史

正态分布的发现和发展经历了漫长的过程，下面列举了其发展的一些重要阶段及其代表人物。

18 世纪,法国数学家阿布拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）在研究二项分布时，发现了“正态曲线”。


图 1 Abraham de Moivre


图 2 正态曲线

19 世纪，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）独立发现了正态分布，并将其应用于误差分析，所以“正态分布”又名“高斯分布（Gaussian distribution）”。


图 3 高斯及正态分布曲线

法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在 Théorie analytique des probabilités (1812 ；“概率分析理论”)中介绍了中心极限定理，证明几乎所有独立且同分布的随机变量的概率都迅速收敛于指数函数下的面积（即正态分布）。


图 4 拉普拉斯的中心极限定理

在 20 世纪，正态分布得到了广泛的应用，成为统计学中最重要的概率分布之一。不仅如此，统计学家们还对正态分布进行了深入研究，并发展了各种基于正态分布的统计方法。

03  正态分布的例子

为了更好地了解正态分布，我们来看几个例子。

● 人群身高的分布

在大多数情况下，人群的身高呈现出正态分布的特征。具体来说，即大多数人的身高集中在平均身高附近，而极端身高的人数较少。例如，假设女性的平均身高为 1.647 米，标准差为 7.07 厘米。那么，身高在 1 个标准差之内，即 157 厘米至 171 厘米之间的女性人数占绝大多数，而身高低于 157 厘米或高于 171 厘米的女性人数则相对较少。


图 5 身高的正态分布

人的身高受多种因素影响，包括遗传、营养、环境等。这些因素的综合作用导致身高呈现出正态分布。由于遗传和环境因素的影响是随机的，因此身高数据会围绕平均值对称分布。

● 人群智商的分布

智商是衡量一个人认知能力的指标，通常也符合正态分布。根据国际标准，智商的平均值为 100 ，标准差为 15 。这意味着：大约 68% 的人口智商在 85 到 115 之间，属于正常范围。大约 16% 的人口智商在 70 到 85 之间或 115 到 130 之间，属于略低于或略高于平均水平。大约 2.5% 的人口智商低于 70 或高于 130 ，属于智力障碍或天才。


图 6 智商的正态分布

不过，智商只是衡量一个人认知能力的一种指标，不能完全决定一个人的成功。 我们应该辩证地看待智商，重视其他方面的能力和素质。

正态分布有三个特殊的比例值：68.27% 、95.45% 和 99.73% 。这三个比例值分别代表了正态分布曲线下三个不同区域的面积：

● 68.27%

正态分布曲线中，位于平均值正负一个标准差范围内的面积约为 68.27% 。这意味着，在一个服从正态分布的人群中，大约有 68.27% 的人的智商在平均值正负一个标准差之间。

● 95.45%

正态分布曲线中，位于平均值正负两个标准差范围内的面积约为 95.45% 。这意味着，在一个服从正态分布的人群中，大约有 95.45% 的人的智商在平均值正负两个标准差之间。

● 99.73%

正态分布曲线中，位于平均值正负三个标准差范围内的面积约为 99.73% 。这意味着，在一个服从正态分布的人群中，大约有 99.73% 的人的智商在平均值正负三个标准差之间。


图 7 正态分布的三个重要比例

04  结语

正态分布在统计学中非常重要，是统计推断、参数估计、质量控制等领域的基础，可以帮助我们了解数据分布、进行统计推断，但它也存在局限性，如数据可能不完全符合正态分布等，因此使用前需对数据进行检验。后续我们将介绍更多的统计学知识，敬请关注！