凑一个齐次基本不等式

luyuanhong

凑一个齐次基本不等式

原创 AthlonBE 唯思客俱乐部 2024-03-28 03:13 比利时

今天在公众号“数学是钢老师教的”上看到一道不等式题：



原题的答案采用了反证法，比较巧妙：



钢老师和他的学生采用了二项式展开的方法，也比较巧妙：



最后，钢老师向大家提问：对于正实数 x ，y 和 z ，这个不等式何时取等号？

我的答案是这道题有瑕疵，因为等号是取不到的。

用以上两种方法都可以得出这个结论。

对于反证法，第一步就可以假设存在 x0 ，y0 和 z0 ，使得不等式左端的表达式小于等于右端的表达式。

剩下的步骤和原方法相同，因为 x0 ，y0 和 z0 都是正实数，所以在放缩过程中取不到等号，只能取小于号，最后得出

(x0y0z0)^16 ＜ (x0y0z0)^16

这样矛盾的结果。从而证明了原假设中等号也无法取得的结论。

对于二项式展开的方法，二项式展开后只取第二项，即 C(n,1) 这一项，这个放缩过程中如果要取等号，则意味着包括首尾两项在内的其他 n 项都等于 0 ，这要求二项式展开前的两项都等于 0 ，显然与 x ，y 和 z 都是正实数的条件矛盾。因此，原不等式不可能取到等号。

下面我给一个通用的方法，用来解决非齐次基本不等式问题。

先举一个一般的例子，比如：

          x + y^2 + z^3

直接对三项之和使用基本不等式 AM-GM 的话，只能得到：



注意到不等式右边三个变量的幂是不等的。

为了在不等式右边得到齐次的变量乘积，我们可以在不等式左边凑一凑：



这样，再对这 11 项之和使用 AM-GM ，就可以在不等式右边得到齐次的变量乘积了。



回到钢老师的这道题。

先推一个通用不等式，对于任意正实数 a ，b 和 p ，总有：



证明这个通用不等式很简单，也是凑一凑，然后用基本不等式 AM-GM ：



因为 p ＞ 0 ， 所以 p + 1 ＞ 1 ，(p + 1)^(p + 1) ＞ (p + 1)^p ＞ p^p 。

以上缩放过程中只能取大于号，所以：



剩下的工作就简单了。

根据上述通用不等式，



两边再取一次根号，原不等式得证。

当然，等号同样是不成立的。