第五公设与非欧几何

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第五公设与非欧几何

原创 WhyMath 無涯讀書札記 2024-03-14 09:26 浙江

这里再特别讲解一下那著名的第 5 条公设，也就是通常说的“平行公理”。

这条公设为什么会引起如此大的争议呢？也许你会非常肯定地说，这难道不是“显而易见”的吗？这可能是因为你已经习惯了用欧几里得的术语来思考问题。但是，如果我们把几何公理看作是从经验中抽象出来的概念，我们就会发现这条公设与其他四个公设之间的区别。前两条公设是从我们用直尺作图的经验中抽象出来的，第三个公设则源自于我们用圆规作图的经验，也就是说，前三条公设都是可以通过尺规作图来实现的。第四条公设作为抽象概念可能不那么明显，但它源于我们用量角器量角的经验。

第五公设的不同之处在于，我们无法根据经验来验证两条直线是否相交，因为我们只能画出线段，而不能画直线。我们可以不断延长线段来观察它们是否相交，但我们无法无限延长下去。因此，我们唯一的办法就是用定义以外的标准来间接验证平行性。

欧几里得是怎么做的呢？他画了一条截线 l 穿过两条直线 m 和 n ，然后测量这条截线与两条直线所形成的同旁内角（即下图中的 ∠α 和 ∠β），若两者相加小于 180° ，则可推测这两条直线 m 和 n 会在 ∠α 和 ∠β 的那一侧相交。这就是第五公设告诉我们的“事实”。



这个平行标准的问题在于，它在逻辑上等同于刚才所说的欧几里得平行公设。因此，我们不能用这个标准来说服自己平行公设的正确性，因为这是循环论证。欧几里得自己也认识到了平行公设的可疑性，因为他尽可能推迟使用平行公设，直到证明他的第 29 个命题时才用到了第五公设。

从与欧几里得同时代的数学家开始，很多人就都对这条公理有异议，认为它过于复杂，不像其他的公设或者公理那么不言自明。许多数学家怀疑第五公设根本不是公设，而是定理。在欧几里得之后的两千年时间里，有很多人试图通过其他4条公设来证明第 5 条公设，或以另一个更为不言自明的公设取而代之，但都以失败告终。因为所谓的证明总是包含一个无法证明的隐藏假设，而所谓更为不言自明的替代公设在逻辑上却与平行公设等价，因此这种替代同样毫无益处。

意大利数学家吉罗洛莫·萨克雷（Girolomo Saccheri ，1667 年 ～ 1733 年）的研究是证明欧几里得第五公设的转折点。萨克雷的计划是考虑由第五公设的否定、其他四个公设和普通概念组成的公理集，并证明这个公理集是不一致的。这样就可以将第五公设确立为定理。萨克雷投入了大量的时间和精力研究修改后的公理集，并提出了多重平行公设（postulate of multiple parallels）。在这项研究中，他发现了许多定理，其结论与欧几里得几何的结论大相径庭。用萨克雷的话说，他推导出的命题“与直线的性质相矛盾”，也就是说，萨克雷能够证明一些对于以欧几里得几何为基础的数学家来说似乎完全错误的结果。这些结果在直观上对萨克雷来说是不正确的。由于萨克雷所发现的结果与他认为唯一有效的几何学相矛盾，因此他断定自己确实发现了不一致之处，并摆脱了欧几里得的缺陷。虽然萨克雷认为他已经将欧几里得的第五公设确立为定理，但他却意外地发现了非欧几何的最初表述，即现在所说的“双曲几何”（hyperbolic geometry）。


在双曲几何中，过直线外一点可以有多条平行线

19 世纪初，其他数学家也开始承认非欧几何的可能性，特别是萨克雷无意中提出的“多重平行”几何。几乎与此同时，几位数学家同时独立地提出了自己的洞见。1829 年和 1831 年，俄国的罗巴切夫斯基（Lobachevsky）、匈牙利的波尔约（Bolyai）正式提出了一种新的几何学，而德国数学家高斯（Gauss）早在几年前就发现了双曲几何的许多结果，但他没有发表这些结果。他们没有像以前的数学家那样试图通过其他公理证明第 5 公设，而是直接否定了这条公设，从而诞生了一门与欧几里得几何体系相对的非欧几何。他们用一条新的公设取代了欧几里得的第五公设：“过给定直线外一点，存在超过一条以上的直线过该点，且与给定直线平行。”这条公设看上去有悖于我们的常理，但影响了后来的数学家对公理的态度。从此以后，公理不再被视作显而易见、不证自明的真理。


罗巴切夫斯基、波尔约和高斯

几何学领域发生的这场革命，其科学意义不亚于天文学领域的哥白尼革命，其哲学影响不亚于达尔文的进化论。加拿大几何学家考克斯特（H. S. M. Coxeter）曾说：“双曲几何学的发现对我们关于真理和现实的观念产生了如此深远的影响，以至于我们几乎无法想象在 1820 年，出现有别于欧几里得几何学的可能性是多么令人震惊。”正因为如此，罗巴切夫斯基还被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

然而，在上述三位数学家所做的开创性工作之后，仍然没有证据能够证明非欧几何在逻辑上是一致的，即它永远不会导致矛盾出现。1868 年，意大利数学家尤金尼奥·贝尔特拉米（Eugenio Beltrami ，1835～1900 年）为证明第五公设的尝试提供了关键性的一击，他首次证明了非欧几何与欧氏几何一样具有一致性。至此，欧几里得第五公设是否从其他四个公设演化而来这个古老的问题终于得到了解决。

20 世纪初，爱因斯坦提出了广义相对论，他的理论告诉我们：在存在引力场的情况下，空间本身会发生“扭曲”，从而影响光线的传播路径。有一种被称为“引力透镜”（gravitational lensing）的现象可以证明爱因斯坦的理论：当我们观测到一个遥远的天体，但在我们与天体之间有一个巨大的星系时，这种现象就会发生。根据爱因斯坦的理论预测，由于星系周围空间的扭曲，来自遥远天体的光线应该能够沿着两条（或更多）不同的路径到达我们的眼睛。


内角和大于 180° 的三角形

比如上图，从环形星系中央的某一点发出的光，沿着两条路径到达我们的眼睛，沿途在照相底片上形成两个不同的点。因此，ABC 三点构成了一个三角形，其内角和略大于 180° 。虽然在这个图中，这个图形看起来并不像我们通常所理解的三角形，但如果我们把三角形的边缘理解为光线的轨迹，这就不难接受了。然而，欧几里得的几何学认为，每个三角形的内角都恰好等于 180° 。但通过观察这个图形，我们就能明白欧几里得的论证为什么会失效：在这种情况下，有两条截然不同的线段连接着点和观察者的眼睛，这与欧几里得第一公设“从任一点到任一点可作一条直线”的本意相矛盾。因而，我们可以得出这样的结论：我们生活的物理世界中的几何学并不完全遵循欧几里得的规则。爱因斯坦的广义相对论表明，我们生活的“真实”空间可以是非欧几里得空间（例如，黑洞和中子星周围的空间）。

非欧几何学的创立为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而后者也给非欧几何的正确性提供了令人信服的证据。相对论给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。爱因斯坦曾说：“如果没有这种新的几何概念，他就不可能提出相对论。”哲学家希拉里·普特南（Hilary Putnam）也指出：“对于认识论学者来说，推翻欧几里得几何学是科学史上最重要的事件。”

值得一提的是，在我们现在的教科书中，欧几里得的第 5 条公设已经被表述为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。这条公理是由苏格兰数学家约翰·普莱费尔（John Playfair，1818 年 ～ 1898 年）改写的，因此也被称作“普莱费尔公设”。换句话说，给定一条直线和一个不在该直线上的点，最多只能有一条直线通过给定的点并平行于给定的直线。普莱费尔证明，这个替代公设得出的结论与欧几里得第五公设相同。与欧几里得第五公设相比，这条公设有一个显著的优点，因为它把注意力集中在平行线的唯一性上，而这正是问题的关键所在。大多数现代欧几里得几何学著作都采用了某种版本的普莱费尔公设，而不是欧几里得最初提出的第五公设。然而，与许多数学命名者一样，普莱费尔并不是这一说法的始作俑者。事实上，早在公元五世纪时，古希腊数学家普罗克洛斯就提出了这一论断。

随着非欧几何的发现，数学界对公理的认识变得更加抽象，这导致人们对几何和整个数学的理解发生了深刻的变化。与欧几里得同时代的数学家，通常都是选择那些不言自明的命题作为公理，这些所选的公理往往都是人们对这个世界的直观感受，是绝对真理。而在现代数学中，公理体系主要强调一致性，公理可以是任意的假设，这是近现代数学的一个伟大进步，使数学达到了以前无法想象的确定性水平。例如在非欧几何中，前四条公设被认为是真的，但否定了第五条公设。这种公理体系下的几何学似乎并不能描述我们所生活的物理世界，但它在逻辑上与欧几里德几何学是完全一致的，这迫使数学家对数学真理的本质和公理化方法的意义进行了彻底的重新评估。于是，一种新的公理方法范式就横空出现了，公理不再被视作不言自明的绝对真理，而是被视作在给定的数学背景下被接受为真理的任意命题。因此，若公理为真，则从中所得出的定理必定为真。对于公理化的意义，希尔伯特曾经做过这样的评价：“（通过公理化）我们能够获得科学思维更深入的洞察力，并且弄清楚我们知识的统一性。特别是，得益于公理化方法，数学似乎被请来在一切学问中起主导作用。”



最后需要说明的是，非欧几何不仅包括双曲几何（曲率为负常数的二维曲面几何），还包括椭圆几何（曲率为正常数的二维曲面几何）。但习惯上，我们一般称由高斯、罗巴切夫斯基、波尔约所提出来的双曲几何为“非欧几何”（或“罗巴切夫斯基几何”），而把椭圆几何称为“黎曼几何”。在欧几里得的几何体系中，三角形内角和为 180° ；在高斯、罗巴切夫斯基、波尔约的几何体系中，三角形内角和小于 180° ；在黎曼几何中，三角形内角和大于 180° 。

starfield123

请教过直线外一点有且只有一条直线平行已知直线。证明方法可以吗？

starfield123

还有一个问题是平行线之间的距离可以是无穷大么？