常见数学分支简介

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常见数学分支简介

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-02-21 08:00 陕西

我在小县城里完成了我小学到高中的学业，那时候我们资源并不像现在这样丰富，没有办法接触到什么是真正的数学，当然我也不会知道我实际上学习的只是一个充满科学、知识和艺术的多元化领域的一小部分。在我的那时候浅薄的认知中，数学就是不断地做题，解题。你当然可以把它理解成是一种教育的缺失，不过我实在没有办法苛责，因为我尽力了。

好在这种感觉就像看彩虹一样，你看到的唯一的光就是你能够看到的光，但实际上，你只是目睹了更壮丽景色的一小部分——更大的光，直到你看到为止。数学也正是如此，它们几乎为你提供了你所理解内容的的全部，并且也掩藏了你所不理解内容的全部，所以对于我来说有机会写一篇文章，来揭开数学的隐藏部分，让那些拥有完整数学火花的充满希望的人们能够一睹这种对知识和优雅的不懈追求的真实面目。这会让人感到十分高兴。数学作为一个研究领域，发展至今已经包含很多子学科，在这期推送中我们尝试介绍它的一些主要分支，并解释它们所包含的内容，当然更重要的是我们为什么研究它们。

对于那些充满希望的数学学生和试图进入该领域的业余爱好者来说，也许读到“代数拓扑，交换代数”这样的词会让人感到十分害怕，但这不应该成为一个阻碍，因为这只是将其分解到足以使其易于理解的问题。许多人都经历过对数学和数学家的恐惧，但我们想说的是，事情不一定是这样的。我清楚地记得当我试图概述数学的众多领域、它们之间的联系以及它们的含义时，这有时会让我感到困惑和艰苦，所以我们把目标放得很低，我们只是承担导游的工作，做一个概览，尝试让数学的分支更加清晰。每个人都可以学习数学。但不幸的是，真正好的东西被隐藏在较低的层次中。让我们看看数学的大话题都是些什么。



数论

这是数学最古老的子领域之一。它自古以来就被研究，并且在很多方面是所有数学的基石。我个人一直很喜欢它，因为它的纯净。但它到底是关于什么的呢？

简单地说是关于自然数的研究。你可能会认为考虑到我们已经花了近 4000 年的时间来探索这些相当简单的数字，我们现在应该完成了。我当然不是这个意思，如果这是一个工匠在 4000 年的期限内理解 1、2、3……的提议，我想大多数人都会拒绝它！

但就像生活中的许多事情一样，当更深入地探索它们时，看似简单的模式就会变得更加复杂。特别是，当考虑到加法和乘法这两个简单运算之间的桥梁时，它们变得非常神秘。

数论主要关注探索自然数的乘法结构。其原因是素数的存在，这种被称为自然数的基石一般，就像模仿了 DNA 是如何从基础分子构建的，其想法是为了理解自然数，我们尝试去理解素数。你知道的，这里我是在谈论算术基本定理。



所谓的素数是指 p＞1 且 p 的因数是 1 和 p 。我们当然可以列举素数序列从 2、3、5、7、11、…… 开始，自希腊人在公元前 300 年左右开始研究第 n 个素数以来，寻找素数的通项公式就一直是数学的圣杯。我们可以来感受一下这种独特性，以 12 这样的数字为例。12  的素数分解为 {2, 2, 3} ，因为 12 = 2×2×3 = 2^2×3 ，并且不能使用任何其他素数来写。它是唯一的素数集，其乘积为 12 。由此立即产生两个非常自然的问题：

1. 自然数中素数的分布是否存在某种模式？

2. 有多少个素数？

第一个问题的答案我们可以有一些直观上的感受，我们知道，当我们沿着数轴向下移动时，素数变得越来越稀有，高斯推测素数的增长大致类似于函数 x/log(x) ，其中 log 是自然对数，这一点在 19 世纪末得到了证明。从那时起，人们一直在寻找更好的近似值。黎曼猜想便是其中著名的猜想，然而，这个问题至今仍未得到解决。

第二个问题，欧几里得在它的《几何原本》中给出了回答，素数有无限多个，当然数论中还有许多分支学科。我们有解析数论（混合数论和复分析）、代数数论等，但我不想把所有这些领域都写下来，我宁愿向你解释一下分析和代数到底是什么。

在继续之前，我们需要引用一位大师的名言。

“数学是科学的女王，数论是数学的女王。” — 卡尔·弗里德里希·高斯

几何学

几何与数论一起是数学中最古老的学科之一，通常与形状、大小、距离、角度等有关。几何以某种方式、形状或形式应用于所有自然科学，因此，我们仍然教我们的孩子三角形、圆形、直线等。几何也是最早被公理化的领域之一从这个意义上说，几何在历史上是现代数学的第一个例子。

传统上，存在三种不同的几何形状。我们之前也有提到过，不知你是否还有印象，通过稍微改变公理，我们可以得到球面几何，其中三角形中的角度之和大于 180 度，在另一个方向上，我们还得到双曲几何，其中任何三角形中的角度之和小于 180 度，然后在中间我们在学校学过的古老的欧几里得几何（平面几何）。

我们还有射影几何，允许平行线在“无穷远点”相交，这在丢番图方程和椭圆曲线理论中起着关键作用。几何当然与三角学密切相关，我们研究由单位圆定义的角度的函数。想想你在高中记忆三角恒等式的噩梦。当数学家谈论几何时，他们通常指的是微分几何或代数几何。在微分几何中，我们使用在这些形状上定义的平滑函数来研究多个维度的形状的局部属性。而在代数几何中，我们使用抽象代数的理论来研究由称为代数簇的多元多项式方程的解定义的形状。

“几何是世界之美的原型。” — 约翰内斯·开普勒



代数

代数是数字的抽象。在初等代数中，我们使用称为数字变量的占位符来研究算术运算的属性。后来，当学习更高级的抽象代数学科时，我们了解了称为群的对称性的推广和称为环的数字系统的推广。我们甚至有向量空间的概括（称为模）以及更多的抽象构造。

我们还研究向量空间和它们之间的线性算子（称为矩阵），代数是数学的粘合剂，也有人说是数学的语言。如果没有代数，我们就不会走得太远。每次求解方程时，我们都会以某种形式使用代数技术。事实上，历史上代数的第一次使用就是为了获得某种经常出现的方程的方法。

埃及人、巴比伦人和古希腊人是最早探索代数技术的人之一，但直到 9 世纪波斯数学家花剌子米才出版了有关该主题的最具影响力的书籍，该领域才脱颖而出。成为专门的一个数学分支，数百年来，波斯、阿拉伯和印度数学家使这门学科变得成熟，而欧洲和世界其他地区几乎停滞不前。然后在 13 世纪，来自阿拉伯世界的旅行推销员将代数知识传到了欧洲，欧洲的教会和学术文化导致知识的传播被封锁了大约 300 年。在意大利，印度-阿拉伯数字甚至一度被视为非法！想象一下因为写下“2”而不是“II”而被送进监狱。

一旦代数从教会中解放出来，事情就开始迅速发展。欧洲全速进入文艺复兴，随之而来的是数学的文艺复兴。笛卡尔在智力上实现了令人难以置信的飞跃，通过二维坐标系（笛卡尔坐标系）中的函数图将几何和代数结合起来，从那时起，这两个学科就紧密地联系在一起。公平地说，笛卡尔并不是唯一提出这种想法的人，但不知何故，功劳都归于他。

代数和几何的对偶性是我们至今仍在学校教给孩子们的东西，而在大学里，已经变成了代数几何，我们通过环和理想等抽象代数技术来研究由多项式方程的解形成的几何形状。

“代数是一种智力工具，它的创建是为了阐明世界的数量方面。” — 阿尔弗雷德·诺斯·怀特海

分析

分析是对函数的研究。具体来说，是关于剖析函数以了解其属性，其中的微分方程在应用数学中尤为重要，是物理学和工程学中最重要的工具之一。事实上，几乎所有物理定律都可以用微分方程的语言来表述！

当然我们还有复分析的子领域，它涉及复变量函数的分析和计算。事实证明，这一理论与实分析有很大不同，并且在某种意义上具有更丰富的理论。复杂分析的威力如此之大，以至于许多实际问题只能使用复杂分析来解决。当我们将复数分析与数论结合起来时，我们就得到了解析数论，其中我们使用复数函数的全纯（复数可微）性质来解锁自然数的秘密！

当分析与几何相结合时，我们就得到了微分几何，我们使用微积分理论来研究形状。在分析中，我们还有测度论，它使我们能够在更一般的意义上讨论面积和体积，并找到比 R^n 子集更一般的集合的“体积”。这个理论是概率论的基石！它与积分理论领域密切相关。

“微积分是迄今为止由人类智慧发明的最强大的思想武器。 ” — 华莱士·B·史密斯

拓扑

拓扑学是一门基础数学学科，我们研究在“形状”，但感兴趣的参数不是尺寸、角度、曲率或平滑函数，这些参数是几何学中感兴趣的参数。现在我们感兴趣的是形状的分类，包括拉伸、弯曲和粘合（在某种程度上），但不包括撕裂和切割。感兴趣的映射不需要光滑（保留几何形状），而是连续的（保留拓扑）。从这个意义上说，拓扑学比几何学更“基础”。

拓扑形状概念的经典例子是这样一个事实（或者说是笑话）：咖啡杯和甜甜圈在拓扑上是等价的，因为如果咖啡杯是无限可拉伸的，那么我们就可以将咖啡杯变成甜甜圈的形状——本质上是这样的。

当我们将它与抽象代数的工具和技术结合起来时，这个领域就会变得特别强大。该领域称为代数拓扑。事实证明，每一类形状都有一定的代数对称性，称为拓扑群。在拓扑学中，我们还有更多的子主题，例如扭结理论。

“拓扑学正是一门允许从局部到全局的数学学科。” — 雷内·汤姆



离散数学

离散数学是多个子学科的集合，从组合学，图论到数理逻辑和公理集合论。它们的共同点是它们都是关于非连续的数学对象。组合学是计数的数学艺术。我们使用概率论和其他相关领域的组合学技术，在图论中我们研究对象及其关系，其中只有关系很重要，而不是大小或度量。

一个熟悉的例子是社交网络，其中关系（或所谓的边）代表友谊，但我们不关心朋友之间的物理距离！重要的是你能否从A地到达B地以及需要乘坐什么火车。因此，关系才是重要的特征，而不是地理位置。

离散数学也可以与连续数学结合起来进入具体数学的子领域。在这里，我们通常使用多项式和幂级数，离散数学还可以是来自不同领域的学科的混合体，包括抽象代数和数理逻辑中的群、环和域。数理逻辑涉及数学语言及其基础。数学陈述的严格表述和真理本身的定义。我们使用形式语言和被称为公理的数学基石。我们还有集合论，它在某种意义上是最基本的理论，因为其他一切都可以从它构建。至少在理论上是这样。在集合论中，我们研究称为集合的事物的集合，例如数字，包括无限的数字集合。

我们了解到，某些集合比其他集合包含更多的无穷大的事物。是的，无穷大有不同种类。事实上，无穷大有无数种不同的大小！你问的无穷大有多大？这个问题你可以请教康托。

“对数学方法的重视似乎更多地转向组合学和集合论，而不是主导数学物理的微分方程算法。” — 约翰·冯·诺依曼

总结

我希望这篇文章能够阐明一些不同的数学学科以及它们之间的联系。当我开始学习数学时，我个人会喜欢这样的概述，只是为了了解我在哪里以及下一步我会受益于哪里。而一旦你了解了这一概述，你就会开始获得一个关键的见解，那就是我们在各个子领域中研究的许多概念实际上都是相同的概念！我们只是从不同的角度来看它。因此，各个领域似乎都存在通用属性。例如，为了研究向量空间，真正感兴趣的对象是它们之间保留其结构的函数，即线性映射（矩阵），为了研究抽象代数中的群，我们研究之间的结构保留映射它们称为同态，拓扑空间之间的结构保持映射是连续映射，集合之间的结构保持映射是函数等等。

有人说数学是一座城堡，你可以在其中不断地构建真实的陈述，有人说数学是一个由相互纠缠的想法组成的蜘蛛网，有人说它是一门科学，有人说它不是。我说它是知识、真、雅、美的艺术。

巴纳赫对此说道：

“数学是人类精神最美丽、最强大的创造。” — 斯特凡·巴纳赫



原创 围城里的猫