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在多次投资,特别是连续多次的复利投资中,我们更关心几何平均增长率是因为它更准确地反映了实际的长期投资回报率。这里是为什么几何平均增长率比算术平均增长率更适合用于这种情景的详细解释:
### 1. 复利效应
复利效应是指每次投资的收益或亏损会影响到下一次投资的本金,从而影响整个投资组合的增长率。例如,如果某次投资亏损了,下一次投资的本金会减少,相应的收益也会减少;相反,如果某次投资盈利了,下一次投资的本金会增加,相应的收益也会增加。
算术平均增长率仅仅考虑了每次投资收益的简单平均,而没有考虑到每次收益对下一次投资的本金的影响。几何平均增长率则通过对总的增长率进行均摊,考虑了复利效应,使其更能反映实际的增长情况。
### 2. 计算方式的不同
#### 算术平均增长率
假设我们有 \( n \) 次投资,收益率分别为 \( r_1, r_2, ..., r_n \)。算术平均增长率 \( R_{\text{arith}} \) 计算公式是:
\[ R_{\text{arith}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n r_i \]
#### 几何平均增长率
几何平均增长率 \( R_{\text{geom}} \) 计算公式是:
\[ R_{\text{geom}} = \left( \prod_{i=1}^n (1 + r_i) \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \]
几何平均增长率通过将所有增长率相乘再取 \( n \) 次方根,均摊到每一次投资,反映了实际的复利增长效果。
### 3. 波动的影响
几何平均增长率能够更好地反映波动对投资组合的影响。当投资组合的收益率波动较大时,几何平均增长率会显著低于算术平均增长率。因为几何平均增长率考虑了复利效应,它会自动调整收益率的波动影响,使其反映更真实的长期增长率。
例如,假设我们有两个投资年度,第一年收益率是 \( +50\% \),第二年收益率是 \( -50\% \):
- 算术平均增长率为:\[ R_{\text{arith}} = \frac{1}{2} (0.5 + (-0.5)) = 0 \]
- 几何平均增长率为:\[ R_{\text{geom}} = \sqrt{(1+0.5)(1-0.5)} - 1 = \sqrt{1.5 \times 0.5} - 1 = \sqrt{0.75} - 1 \approx -0.134 \]
尽管算术平均增长率为零,但几何平均增长率为负,反映了实际的投资组合在两个年度后的净亏损。
### 4. 长期投资的准确反映
几何平均增长率能更准确反映长期投资的回报率,因为它考虑了每次投资对整体投资的复合影响。在长期投资中,收益和亏损会逐步积累并影响整个投资组合的增长,几何平均增长率通过反映复利效应,提供了一个更准确的长期增长率指标。
### 总结
几何平均增长率更能准确反映长期投资回报率的原因在于:
- 它考虑了复利效应,使得每次投资的收益和亏损都能影响到下一次投资的本金。
- 它能够更好地反映投资收益率波动的影响,调整为更真实的长期增长率。
- 它通过均摊总增长率,提供了一个长期投资的实际增长情况。
因此,在多次投资,特别是连续多次的复利投资中,几何平均增长率是更合适的衡量标准。 |
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