三次方程公式是如何诞生的？

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三次方程公式是如何诞生的？

原创 David S Richeson ECONOMICS RULES 2024-02-25 13:27 重庆


尼克洛·丰塔纳（Niccolò Fontana）（左），和吉罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）都在求解三次方程中发挥了作用，但他们在这一过程中成为了敌人。

历史充满了暗箭伤人的竞争：Edison and Tesla , Harding and Kerrigan , Tupac and Biggie 。同样引人注目的是 16 世纪意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）和尼克洛·丰塔纳（Niccolò Fontana）之间的冲突。前者是一位才华横溢但多灾多难的学者，后者更为人所知的名字是塔尔塔利亚（Tartaglia 意为“口吃者”，因十几岁时被一名法国士兵的剑刺伤面部而得名）。核心问题：三次方程（cubic equations）。

大多数高中生都知道如何使用二次公式求解二次方程，例如 x^2-x-3=0 。一般方程 ax^2+bx+c=0 的解或根是



高次方程（x 的幂更大）有类似的公式吗？从本质上说，确定这一点是卡尔达诺、塔尔塔利亚和他们同时代人的任务。

我们所知道的现代代数——像上面这些抽象的符号表达式和熟悉的操作它们的方法——可以追溯到 17 世纪，比这些学者的时代晚了很久。但是代数思维，以及解线性方程和二次方程的能力，在过去的几千年里发展缓慢。

在 16 世纪，代数方程仍然以修辞方式表达——用文字而不是符号——并且所有系数都必须是非负数，因为数学家不认为负数是合法的。没有未知变量 x 的概念，x^3+cx=d 形式的三次方程被描述为“一个立方加一些东西等于一个数字”，这被视为与“一个立方等于一些东西加一个数字”（ x^3=cx+d ）不同。因此，尽管今天我们会将求解 ax^3+bx^2+cx+d=0 视为一个问题，但当时它被视为十多个不同的问题，这些项位于等号的左边或右边，或者根本不存在。

如果没有现代符号代数，数学家就会进行几何推理。例如，我们可以将熟悉的表达式 (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 视为边长为 a+b 的正方形的面积等于边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形和两个 a×b 矩形的面积之和。



同样地，将一个边长为 t 的立方体分解成 6 个盒子



（只要 t＞u ）。



16 世纪初博洛尼亚大学（University of Bologna）的教授西皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro）是第一个在解三次方程方面取得重大进展的人。不幸的是，由于当时奇怪的学术保密文化，我们并不知道他的所有成就。学者们不会竞相发表自己的成果，也不会沉浸在证明一个定理或解决一个问题的荣誉中，而是会在“数学决斗”中互相挑战。他们会向对方发送具有挑战性的问题，解决最多的人就是赢家。胜利者通常获得了职业发展和更多的学生。因此，发现有时会被保留下来，作为秘密武器在未来的比赛中使用。

但是我们知道当 c 和 d 为正时，del Ferro 可以解 x^3+cx=d 形式的方程。没有平方项的三次方程，比如这个方程，被称为“凹三次方程”。尽管 16 世纪的数学家不会这样表达，但 del Ferro 证明了一个根是



这个现代公式适用于任何凹三次方程，但由于系数符号不同的三次方程被认为是不同的问题，del Ferro 的解决方案不能自动应用于其他凹三次方程。我们之所以知道 del Ferro 能解出这些三次方程，是因为他把这项技术教给了他的学生安东尼·菲奥（Antonio Fior），后者在 del Ferro 死后吹嘘说他能解出这些方程。

与此同时，自学成才的塔尔塔利亚（Tartaglia）发现了如何求解一种不同形式的三次方程——缺少线性项 cx 的方程。这为菲奥和塔尔塔利亚之间的数学对决埋下了伏笔。1535 年，他们交换了 30 个问题，期限为一个半月。塔尔塔利亚给菲奥出了各种各样的难题，而数学上较弱的菲奥采用了“把所有鸡蛋放在一个篮子里”的策略，给塔尔塔利亚送去了 30 个凹三次方程。就在截止日期前几天，塔尔塔利亚想出了解决问题的方法，并在两个小时内完成了所有 30 道题。与此同时，菲奥没有解决他的任何问题。塔尔塔利亚取得成就的消息传遍了意大利，蒙受耻辱的菲奥渐渐淡出了人们的视野。

当时普遍认为解立方是不可能的，所以塔尔塔利亚的成就震惊了卡尔达诺（Cardano）。此时，卡尔达诺是一位非常受欢迎的医生，但脾气不好，被一个又一个麻烦所困扰。他赌博，他与行为不端的儿子斗争，他在宗教裁判所期间入狱等等。然而他最终在数学、医学、哲学、宗教、音乐和物理方面做出了很多贡献。几十年后，戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）写道:“卡尔达诺是一个伟大的人，尽管他有种种缺点；如果没有他们，他将是无与伦比的。”他的文集长达 7000 页，包括第一批对概率论的严肃研究。

卡尔达诺试图复制塔尔塔利亚在三次方程中的成功，但失败了，所以他开始施压，说服塔塔利亚分享他的方法，甚至承诺保密：

我以神圣的福音书和我作为一个绅士的信仰向你发誓，如果你告诉我你的发现，我不仅永远不会发表，而且我还承诺并保证我作为一个真正的基督徒的信仰将它们用密码写下来，这样在我死后就没有人能理解它们。

最终，在 1539 年，塔尔塔利亚心软了，并与卡尔达诺分享了他解决凹三次方程的方法，但他没有分享这种方法的证明。然而，对于聪明的卡尔达诺来说，仅仅知道方法就足以发现潜在的数学原理。不久，卡尔达诺可以解决任何一个凹三次方程。然后，他观察到将 x=t-b/3a 代入 ax^3+bx^2+cx+d=0 会产生一个含变量 t 的凹三次方程。通过求解 t 的方程并将其代入代换公式，他可以解出 x 。因此，卡尔达诺能够求解任何一个三次方程。

尽管卡尔达诺对塔尔塔利亚发过誓，但他还是把这些结果传授给了他的天才助手卢多维科·法拉利（Ludovico Ferrari）。尽管他一开始是卡尔达诺的仆人，但法拉利最终成为卡尔达诺在数学上旗鼓相当的人。通过帮助卡尔达诺研究三次方程，他变得非常精通代数，他发现了如何将任何四次方程化为三次方程。因此，卡尔达诺和法拉利可以解决任何四次或更低的方程。

卡尔达诺认识到这些成就的重要性，迫切希望发表这些成果。但是由于它们都是由塔尔塔利亚种下的种子生长而成的，这样做会违背他的誓言。

然后，在 1543 年去博洛尼亚的一次旅行中，卡尔达诺在 del Ferro 的笔记本上看到他在塔尔塔利亚之前解决了凹三次方程。在卡尔达诺看来，这一发现解除了他对塔尔塔利亚的义务。两年后，卡尔达诺出版了《伟大的艺术》（Ars Magna），其中包含了他和法拉利在三次和四次方程方面的工作。

塔尔塔利亚脸色铁青，尽管卡尔达诺在书中承认了他的工作。塔尔塔利亚指控卡尔达诺盗窃和违背神圣誓言。卡尔达诺把责备留给了他忠诚的法拉利。这场激烈的交锋以公开小册子的形式持续了数月，导致了塔尔塔利亚和法拉利之间的数学对决，并最终在法拉利的家乡米兰引发了一场公开辩论。塔尔塔利亚更想与受人尊敬的卡尔达诺战斗，但卡尔达诺拒绝了。细节很少，但这场辩论对塔尔塔利亚非常不利，尤其是在喧闹的家乡人群中。第二天，到了继续辩论的时候，塔尔塔利亚不见了——他已经离开了米兰。

法拉利收到了大量的工作邀请，塔尔塔利亚的声誉也毁了。尽管除了与三次方程有关的成就外，还有许多值得注意的成就，但塔尔塔利亚死时身无分文，基本上不为人知，而卡尔达诺却获得了永久的声誉。许多人认为 Ars Magna 的出版标志着现代数学的开端。

在征服了三次方程和四次方程之后，数学家们想知道他们能走多远。事实证明，并不是很远。

五次方程的故事也很吸引人，它有一个令人震惊的结论：一般来说，只使用加减乘除和 n 次根是不可能用 a、b、c、d、e 和 f 来表示 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 的根的。例如，多项式方程 x^5-x+1=0 的根约为 -1.167304 ，但无法用这些工具来表达精确的值。

尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）在 1824 年给出了这一事实的第一个完整证明，比 Ars Magna 晚了近三个世纪。然后，在 1830 年，18 岁的政治煽动家埃瓦里斯特·伽罗瓦（variste Galois）扩展了这项工作，给出了任意次多项式何时可解的精确标准。尽管伽罗瓦两年后死于一场决斗（这场决斗用的是枪，而不是数学），但他对数学的贡献是巨大的。

这些不可能的结果并不是故事的结局。数学家仍在研究多项式、它们的根及其性质。仅举一个例子，大卫·希尔伯特（David Hilbert）在 1900 年提出的一个著名问题是关于七次多项式的根。人们认为这个问题在 20 世纪 50 年代就已经解决了，但现在又重新引起了人们的兴趣。据推测，现代数学家在这个问题上取得了进展，而不会重现围绕三次方程的竞争。

llshs好石

错误的，谢谢。任意五次方程都可以根式求解
第十三问也已经由本人解决了。

llshs好石

llshs好石 发表于 2024-3-24 19:36
错误的，谢谢。任意五次方程都可以根式求解
第十三问也已经由本人解决了。

解方程： x^5-x+1=0
zhuanlan.zhihu.com/p/84076057

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