欧几里得小传与《几何原本》

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欧几里得小传与《几何原本》

来源：無涯讀書札記

作者：WhyMath

说明：本文是我两个月前写的，这里抽取其中关于“欧几里得小传与《几何原本》”的内容与大家分享，希望对大家理解欧几里得的几何有所帮助。

第一部分：欧几里得生平

在古希腊众多数学家当中，最有影响力的人当属欧几里得。

关于欧几里得的身世，其实我们知之甚少。通过古希腊哲学家普罗克洛斯（Proclus ，公元 410 年 ～ 485 年）与帕普斯的著作，以及几百年后阿拉伯学者的文献，我们得知欧几里得大约于公元前 330 年（与中国战国时期思想家孟子同一时代）出生于提尔（Tyre），这座城市位于地中海东部，属于今天的黎巴嫩，规模相当于今天叙利亚的大马士革。他生活了一段时间之后，来到了希腊首都雅典，求学于由柏拉图所创办的雅典学院。由于柏拉图对数学研究的重视，所以该学院的学生都要学习高等数学，而那个时代大多数伟大的数学家也都出自这个学院。大于在公元前 300 年，托勒密一世统治埃及时期，欧几里得来到埃及北部靠近尼罗河口的亚历山大城，他在那里创办了一所学校，并度过了他的余生。

亚历山大城是亚历山大大帝（Alexander the Great ，公元前 356 年 ～ 公元前 323 年）征服埃及后所创建的城市，后成为了当时世界贸易和文化交流的中心，并在长达几个世纪里成为希腊语世界的文化中心。亚历山大的继承者托勒密一世在此建了一座巨型的亚历山大图书馆，藏书（纸草书）75 万卷，吸引了世界一流学者，这也使得亚历山大城成为哲学家、历史学家、地理学家、数学家、天文学家、语言学家和诗人等云集之所。同时，世界数学的中心也从希腊雅典逐渐转移到了埃及的亚历山大城。公元前 47 年，罗马帝国的凯撒大帝纵火焚烧亚历山大港的埃及舰队，大火蔓延至亚历山大图书馆，藏书大部分被毁。公元 5 世纪，女数学家希帕蒂娅（Hypatia ，约公元 370 年 ～ 415 年）因宗教原因惨死，这意味着亚历山大城学术活动进入低谷，也标志着古希腊数学走向衰败。


欧几里得（Euclid）

欧几里得一生最伟大的工作就是在亚历山大城完成了《几何原本》（Elements ，简称《原本》）一书，这本书为他赢得了极大的声誉，因此被人们称作亚历山大学派的欧几里得。除了我们熟知的《几何原本》，欧几里得还写了 15 部其他著作，内容涵盖了数学和科学的多个方面。可惜这些作品大都也已失传，流传下来的不多。

有两个广为流传的关于欧几里得的故事。普罗克洛斯在其一本名为《几何学发展概要》的书中记载了这样一则故事：“托勒密问欧几里得说，除了他的《几何原本》外，有么有其他的学习几何捷径。欧几里得回答他，几何学中没有王者之道。”这句话后来成为千古传颂的学习箴言。另一位古希腊哲学家斯托比亚斯（Stobaeus ，约公元 500 年）还记载了另一则故事：“有一个才开始学习第一个命题，就会欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得对他的仆人说，给他三个钱币，因为他一定要获得些什么才肯学习。”由此可见，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘的实用观点。


欧几里得在讲授几何（拉斐尔名画《雅典学院》局部）

欧几里得的确切寿命和出生地不详。中世纪的一些作家错误地将他与大约早一个世纪的古希腊哲学家梅加拉的欧几里得（Euclid of Megara）混为一谈。由于缺乏详细的史料证据，也有一些历史学家认为欧几里得实际上并非是一个人，而是当时亚历山大图书馆的一个数学家团体的名称。因为“欧几里得”这个词在希腊文（Ευκλειδησ）里是“好名声”的意思，他们用“欧几里得”这个名字集体出版了一部完整的著作。这个观点可能是受到了 20 世纪法国数学家团体“布尔巴基”（Nicolas Bourbaki）的启发。当然，这只是一个非主流的观点。

第二部分：《几何原本》的主要版本

现在回到欧几里得的代表作《几何原本》这本书。

《几何原本》最初的书稿早已失传，凭借后人的不断重复抄写与复印才得以保留下来。目前所知最早的手抄本是公元 1 世纪发现的，比古希腊数学家们活跃的年代晚了大约五百年。下图是奥克西林库斯纸草书（Oxyrhynchus Papyri）的一部分，于 1897 年在埃及的一个古老垃圾场中发现，这个小的纸草书可以追溯到公元 100 年左右，可能是欧几里得作品现存最古老的一部分，该图表显示了《几何原本》第 2 卷中的第 5 个命题，这是一个几何版本的恒等式。


奥克西林库斯纸草书局部

公元 4 世纪时，古希腊女数学家希帕蒂娅的父亲赛翁（Theon）根据几个不同版本整理了一个希腊文抄本，并对原文进行了校勘和补充，此即“赛翁抄本”，后来的学者大都根据赛翁抄本研究和翻译《几何原本》。


中世纪欧几里得《几何原本》译本（约 1310 年）开头的插图

1570 年，出现了第一个英文版本的《几何原本》，是由亨利·比林斯利爵士（Sir Henry Billingsley）翻译完成的。而目前我们在市场上看到的中文版，基本上都是根据英国著名数学史学家托马斯·希思（Sir Thomas L. Heath）的英译文为底本翻译而来，相对而言比较接近欧几里得的原著。


第一个英文版《几何原本》（1570 年）

中国最早的汉译本是 1607 年由意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci ，1552 年 ～ 1610 年）和明代科学家徐光启（1562 年 ～ 1633 年）合作翻译，依据的版本是由利玛窦的老师、德国人克拉维乌斯（C. Clavius ，1537 年 ～ 1612 年）校订增补的拉丁文 15 卷本。利玛窦与徐光启合作翻译了其中的前 6 卷，后因利玛窦去世而未能完成全部的翻译。但利玛窦和徐光启将其定名为《几何原本》，一直沿用至今。但在接下来的两百多年间，这本书并未在中国产生什么影响。


利玛窦（左）和徐光启

250 年后，英国人伟烈亚力（Alexander Wylie ，1815 年 ～ 1887 年）和清代李善兰（1811 年 ～ 1882 年）于 1857 年共同完成了后面 9 卷的翻译，根据的底本不明，猜测有可能是牛顿的老师巴罗（Isaac Barrow ，1630 年 ～ 1677 年）所完成的 15 卷英译本。这个中译本由曾国藩长子曾纪泽代父亲作序，曾国藩出资刊印。随着洋务运动的兴起，中国的一些有识之士抱着了解西方科技的心态，开始学习《几何原本》。

第三部分：《几何原本》的伟大意义

欧几里得的《几何原本》是一部具有划时代意义著作。全书共 13 卷，第 1 卷至第 6 卷为平面几何，第 7 卷至第 10 卷为算术和数论，第 11 卷至第 13 卷为立体几何，一共包含 465 个数学命题，涵盖了当时所有已知的几何知识。但如果仅仅从几何学或者数学知识层面而言，欧几里得的《几何原本》本身并非是一部原创性很强的著作，而他本人也没有对此书的原创性有过多的声明，但它综合了那个时代已知的各种数学知识，将之前 300 多年其他希腊数学家所做的前驱工作进行了系统汇总，是古希腊数学之集大成者。欧几里得借鉴了前人的许多成果：第 1 卷和第 2 卷似乎来自毕达哥拉斯派，第 3 卷和第 4 卷来自希波克拉底，第 5 卷、第 6 卷和第 12 卷来自欧多克斯，第 8 卷来自阿契塔（Archytas ，约公元前 428 年 ～ 公元前 350 年），第 10 卷和第 13 卷来自泰阿泰德（Theaetetu ，约公元前 417 ～ 公元前 369 年）。

更为重要的是，欧几里得认识到依靠经验、观察、类比、近似和直觉不足以确立真理，因此，他试图建立一个彻底的公理基础，并在此基础上进行证明。他采用公理化思想和演绎推理来叙述几何学，全书从一些几何的基本要素、定义及几个公认为正确的公理开始，根据这些公理及定义，逐一证明每个定理，从而构建出了一套完整的几何学。《几何原本》以第 1 卷的 23 个定义、5 条公设和 5 条公理作为基本出发点，共给出了 119 个定义和 465 个命题及证明。《几何原本》是一部纯粹的数学作品，欧几里得本人对几何学的实际应用并不关心，他更加关心的是几何体系内在逻辑的严谨性。

欧几里得对公理和公设的选择是极为巧妙的，也可以说是费尽心思的，用极少数几条公理就推出了四百多个定理。引用法国著名哲学家和数学家勒内·笛卡尔（René Descartes ，1596 年 ～ 1650 年）的比喻就是，欧几里得不是只找出一条铁链，还要把许多条推理的长链条编织成一张铁链网，将所有《原本》的命题都固定在五个牢靠的首环上。英国著名的物理学家和数学家牛顿（Isaac Newton ，1643 年 ～ 1727 年）也曾如此评价《几何原本》：“能够从如此少的原理中取得如此多的成就，这是几何学的荣耀。”

当然，欧几里得在《几何原本》开篇的定义中不少都是语意模糊，有着各种逻辑上的缺陷，其中的命题证明也存在一些遗漏和错误之处，而他所提出的公理（及公设）也是不完全的，其中最有名的就是第五公设（即平行公理），它并不像其他公理那样显而易见。为此，数学家们花了两千多年的时间对欧几里得并非纯演绎式的公理体系进行了修补和完善，从阿基米德到康托尔（Cantor ，1845 年 ～ 1918 年）和戴德金（Dedekind ，1831 年 ～ 1916 年），再到帕施（Pasch ，1843 年 ～ 1930 年），最后直到德国数学家希尔伯特（D. Hilbert ，1862 年 ～ 1943 年）的《几何基础》（Foundations of Geometry）问世，欧几里得的几何体系才最终得以完备，成为真正系统严密的欧氏几何学。在本书的最后一部分，我们将会简单介绍一下希尔伯特的公理体系，从而让大家更加全面地认识欧几里得的几何学体系。


中文版希尔伯特《几何基础》

即便如此，瑕不掩瑜。因为在人类历史上，虽然四大文明古国都产生了许多引以为傲的数学知识和其他人类文明，但它们都是一些与日常生活紧密相关的实用性知识，像《几何原本》这样的知识体系还是首次出现，它犹如一颗闪耀的流星划过夜空，照亮了整个世界，在人类知识史上树立起了一个典范。欧几里得给人类建立了一种探究知识结构的标准模式，让人们知道如何超越经验知识去探求现象背后更深层次的科学原理，并以此贯穿并整合一门学科。

爱因斯坦在谈到科学的起源时曾说，“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的：希腊哲学家（在欧几里得几何学中）发明了形式逻辑体系，以及（在文艺复兴时期）发现通过系统的实验有可能找出因果关系。”

第四部分：对后世的影响

欧几里得和他的《几何原本》建立了人类理性思考的典范，“公理化思想”和“演绎推理”就是理性思考的源泉，这种构建知识的模式不仅在自然科学上取得了惊人的成功，还对社会科学和人文科学产生了深远的影响，是人类思想史上一个了不起的天才成就。

许多重要的思想家认为，如果其他学科遵循相同的方法，它们可能会分享几何学的确定性。例如，笛卡尔曾说，如果我们从不言自明的真理（也称为公理）开始，然后通过逻辑推导出越来越复杂的真理，那么我们就没有什么不能知道的。在人类思想史上，有许多伟大的科学家和学者都不同程度地受到《几何原本》的影响，其中我们熟知的就有哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿、爱因斯坦、麦克斯韦、斯宾诺莎和罗素等人。

牛顿的史诗级巨著《自然哲学的数学原理》就是以欧几里得的几何证明的形式写成的，全书贯穿着他发明的微积分的几何形式，以著名的“牛顿三大运动定理”为公设，推演出了许多物理学与天文学的命题。

“近代哲学之父”斯宾诺莎（Baruch de Spinoza ，1632 年 ～ 1677 年）虽然不是数学家，但其最重要的哲学著作《用几何学方法作论证的伦理学》也采用了《几何原本》的公理化方法，从八个定义和七条公设出发，发展并证明了许多哲学与伦理学命题。

罗素（Bertrand Russell ，1872 年 ～ 1970 年）与怀海特（Alfred Whitehead ，1861 年 ～ 1947 年）合著的《数学原理》、维特根斯坦（Wittgenstein ，1889 年 ～ 1951 年）的《逻辑哲学论》也采用了类似的写作框架。

还有一个明显带有《几何原本》影子的例子就是美国的《独立宣言》，其旨在通过使用欧几里得的形式来激发对其确定性的信仰。托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson ，1743 年 ～ 1826 年）是美国历史上对数学了解最多的总统，他在《独立宣言》的开始说道：“我们认为这些真理是不言而喻的：人人生而平等，造物主赋予他们若干不可分割的权利，其中包括生命、自由和追求幸福的权利。”《独立宣言》中还有其他不言而喻的真理，他使用了“证明”这个词，并且明确声明成立美国的宣言是一个逻辑论证的结论，以“因此”开始：“因此，我们宣布这些联合殖民地为自由和独立的国家。”这是欧几里得的《几何原本》在政治学领域的一大影响。

爱因斯坦永远无法忘记他第一本几何学教科书给他带来的深刻印象，他曾对《几何原本》做出过非常高的评价：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天生的科学家。”罗素在自传中写道：“我十一岁时开始学习欧几里得几何……这是我一生中最重要的事件之一，就像初恋一样令人神魂颠倒。我从未想象过世界上有如此美妙的事物。”我国明代科学家徐光启也曾说：“凡精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”

《几何原本》作为数学教科书在西方世界流行了两千多年，从 1482 年第一个印刷本问世到 19 世纪末，它以不同的文字出版了 1000 多个版本，发行量仅次于《圣经》，堪称人类历史上最为成功、影响最深的教科书。也正因为如此，在西方知识界，欧几里得有着“天不生仲尼，万古如长夜”这般崇高的地位。

遇见数学 2024-03-15 20:02 河南