在圆周上 12 个等分点中取 3 点形成的三角形中，三个内角成等差数列的三角形有几个？

wintex

請問數學

lihp2020

分析  三内角 要成等差   等价  有一个角是60°

1 等边 12/3个
2非等边 的含60度
        A选择60度的边 12/2  
        B 选择其他的点 6

结果 4+6*6=40

wintex

lihp2020 发表于 2024-3-19 10:17
分析  三内角 要成等差   等价  有一个角是60°

1 等边 12/3个

答案是給76

luyuanhong

王守恩

难的不会, 先从简单算起。

在圆周1*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有1+0*3=1个。
在圆周2*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有2+2*6=14个。
在圆周3*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有3+4*9=39个。
在圆周4*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有4+6*12=76个。
在圆周5*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有5+8*15=125个。
在圆周6*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有6+10*18=186个。
在圆周7*3个等分点中取3点形成的三角形中, 三个内角成等差数列的三角形有7+12*21=259个。
......
得到这样一串数:{1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550, 671, 804, 949, 1106, 1275, 1456, 1649,
1854, 2071, 2300, 2541, 2794, 3059, 3336, 3625, 3926, 4239, 4564, 4901, 5250, 5611, 5984, 6369,
6766, 7175, 7596, 8029, 8474, 8931, 9400, 9881, 10374, 10879, 11396, 11925, 12466, 13019, ......}

1. Table[(n + 1) (6 n + 1), {n, 0, 40}]

复制代码

这串数有这样一个奇妙的结论。

\(\frac{13}{14}*\frac{38}{39}*\frac{75}{76}*\frac{124}{125}*\frac{185}{186}*\frac{258}{259}*\frac{343}{344}*\frac{440}{441}*\frac{549}{550}*\frac{670}{671}*\frac{803}{804}*\cdots*\frac{n(6n+7)}{(n+1)(6n+1)}*\cdots=\frac{6}{7}\)