导数的几何意义（三）——求函数极值，证明函数经典不等式、切线放缩

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导数的几何意义（三）——求函数极值，证明函数经典不等式、切线放缩

原创 深度一佳 深度一佳 2024-03-05 11:24 山东

导数是函数曲线的切线斜率，可以指示函数的增减性变化。

话说如果在一个特定区间内，函数值由增到减，或者由减到增的转折点称为极值点，转折点处的函数值称为极值，前者称为极大值，后者称为极小值，如下图。



也就是说，只要我们找到了函数值增减变化的转折点，我们就能计算出函数的极大值或者极小值。

假如函数在定义域或者特定区间内只有一个极大值点，那它的这个极大值就是函数在这个区间的最大值，函数值的上限不会超过这个值；

同理，如果函数在定义域或者特定区间内只有一个极小值，那这个极小值就是它在这区间的最小值。

根据这个特点，我们可以很方便地比较两个函数的大小，从而证明不等式的成立。

方法很简单，先把两个函数相减，构造出一个新函数，然后对新函数求导，判断单调性，找到极值点；

如果新函数在定义域或者在特定的区间内只有一个极值点，我们就可以计算出新函数的最大值或者最小值，把计算出的最值和0进行比较，就可以确认两个函数谁大谁小了。

举个例子，我们用上述方法证明这个不等式：



这两个函数，谁大谁小，用图像表示的话，非常直观：



但是，靠直观判断是说不过去的，你可以通过直观的判断得到直观结论，但这个结论必须要经过数理推导才行。



下面的这个图，可以直观地表示出上述推导结果：



同样的方法，我们可以证明如下类似的结论：




二者图像在点（1,1）处交汇，也就是说当 x=1 时，二者取等。




二者图像在原点交汇，也就是说，当 x=0 时，上式取等。




二者图像在（1,0）处交汇，也就是说，当 x=1 时，上式取等。




上图表示：当 x 在 0 和 A 之间时，上述不等式成立。当 x= 0时，上式可以取等；当 x=A 时，后两式可以取等。




这个不等式也很好理解，三者在原点处交汇，当 x=0 ，上式取等。




三者图像在点（1,0）处交汇，也就是说当 x=1 时，上式取等。

上述几个常用的不等式，也称为经典不等式，它们的证明，都可以通过构造新函数，求导，然后求极值的方式来完成。

很明显，上述不等式都是因为函数两条曲线在某一点相切形成的。这就意味着，如果你遇到一个函数不等式的证明题，正常方法无法着手的时候，你可以在合适的地方做这个函数图像的切线，找到这个切线之后，你就可以抛弃原来复杂的函数表达式，而只是证明这条切线大于或者小于你需要证明的东西就够了。这就是我们常说的切线放缩，当然这是另外一个话题，此处就不再展开。

感谢您的阅读！