其中 P 为没有重根的多项式,R 为有理函数。这里的函数 f(x) 没有初等函数形式,即它是一种超越函数。我们知道超越函数与代数函数相反,函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。初等函数则是由代数函数、三角函数、指数函数以及它们的逆组成。例如正弦余弦函数就是初等函数里的超越函数,所以用了新的记号 sin 、cos 来表示正弦余弦函数,而无法把它们写成自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。椭圆积分引起了很多数学家的兴趣,他们一直试图找到积分的初等函数表达式,但皆以失败告终,最终数学大师刘维尔证明了椭圆积分不是初等函数,表达式都没有,那如何来探究这类函数的性质呢?