爱因斯坦：“我一生中最快乐的想法”

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爱因斯坦：“我一生中最快乐的想法”

迈克尔·贝里爵士评论说：“这本书有五百页雄辩的篇幅，充满了数学智慧和深厚的历史底蕴。《微分几何》确实是可视的，通过柚子、榴梿、南瓜、土豆和牙签描绘了平行移动、曲率和测地线。我真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。”

物理学家伯纳德·舒茨教授也评论道：“《微分几何》是优雅的，有漂亮的排版、巧妙的插图和可爱的工艺。尼达姆巧妙地让几何重新主导了数学，他向我们展示了几何仍然有一些新的东西要告诉我们。”

这就是出自旧金山大学数学系教授，理学院副院长、Roger Penrose（与霍金齐名的英国物理学家）弟子特里斯坦·尼达姆的《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》，一部让人叹为观止的著作。

来源 | 《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》

作者 | [美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

译者：刘伟安

摘自：“第 30 章 爱因斯坦的弯曲时空”原文较长，仅摘前两节

爱因斯坦极其优美的广义相对论，它宣称：四维时空是构成我们所谓“现实”的框架，而引力就是这个四维时空的曲率。

伟大的美国物理学家约翰·阿奇博尔德·惠勒（1911—2008）把这个理论提炼成一句名言：“空间告诉物质如何移动，物质告诉空间如何弯曲。”说得更详细一些，自由落体沿弯曲空间的测地线运动：这些测地线仍旧是最直的路径，但是它们使得用时空度量测量的“距离”最大化（而不是最小化）。惠勒这句格言的后半部分是第四幕的压轴戏：描述物质和能量如何弯曲时空的精确定律——广义相对论的引力场方程，这是爱因斯坦在 1915 年的伟大发现。

我们从它在历史上的起源说起，即牛顿发现万有引力平方反比定律的故事（可能过于简化了）。这让我们想到 1666 年，牛顿坐在花园里，看着苹果从树上掉下来的情景。接下来的故事是这样的：牛顿突然意识到把苹果拉向地球的力可能会同样地作用于月球，把它拉向地球，并使它保持在轨道上。爱因斯坦关于引力的几何理论的起源非常类似，但爱因斯坦理论中的自由落体不是苹果，而是一个人！

1907 年，在发现狭义相对论整整两年之后，爱因斯坦仍然没有任何学术地位。在此之前的五年里，他一直在瑞士伯尔尼联邦知识产权办公室担任专利职员（由三级晋升为二级）。

正如我们在第四幕开始时所指出的，爱因斯坦知道，尽管牛顿的万有引力定律极其精确，但它的瞬时超距作用与光速的有限速度从根本上是互不相容的，因此也与他在 1905 年发现的狭义相对论不相容。于是，爱因斯坦开始了对万有引力的长期探索，直到 8 年后，也就是 1915 年 11 月 25 日，他终于写下了引力场方程。

1907 年 11 月，爱因斯坦迈出了漫长旅程中至关重要的第一步，当时他有了后来被他描述为“我一生中最快乐的想法”：

当时我正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然间有了一个想法：如果一个人自由地向下掉落，他将感觉不到自己的重量……我吓了一跳。这个简单的想法给我留下了深刻的印象。它促使我研究引力理论。

当我们在电视上看到航天员在绕轨道运行的空间站中漂浮时，重力似乎已经完全消失了——这正是爱因斯坦深刻见解的意义所在。这种似乎完全消除引力的现象是由于航天员和空间站在地球的引力场中一起自由下落而产生的，并不是由于空间站离地球太远以至于逃脱了引力的作用！

是的，牛顿引力平方反比定律告诉我们，在空间站上的引力比在地面上弱一些，但是一个简单计算表明，牛顿引力场作用在国际空间站轨道（约 400 千米）高度的力量只比在地面上低了 12% 。显然，看似重力的完全消失与距离稍远这种温和的效果无关。

相反，重力的完全消失源自一个著名的经验事实，这个事实是伽利略在 1590 年左右（据说）通过从比萨斜塔上扔下物体而首先发现的，即所有物体都因重力而加速，无论其质量或组成如何。 因此，航天员和他们的航天器一起沿同样的轨道自由下落。

牛顿的万有引力定律解释了这个经验事实，也因此被铭记。如果一个质量为 m 的非常小的粒子与一个质量为 M 的非常大的粒子相距 r，那么 m 对于 M 的引力效应可以忽略不计。我们可以认为 m 只是在 M 的引力场内被拉向 M。所以，将 m 拉向 M 加速度 a 由牛顿第二运动定律决定：

F = ma 。

但是，如果 r 是 m 到 M 的距离，那么牛顿万有引力的平方反比定律表明



其中 G 是万有引力常数。结合两式，



可见加速度确实与 m 无关。

因此，牛顿的万有引力定律解释了伽利略在其他方面极其神秘的经验观察，即所有物体（从相同的地方以相同的方式发射）都沿相同的轨迹运动，而与它们的成分无关。

有可能再深入一些吗？我们能在这个方面反过来解释牛顿万有引力定律吗？爱因斯坦的几何理论就是这么做的！如果一个粒子注定要沿几何上确定的时空测地线运动（这与粒子没有任何关系！），就解释了伽利略的经验事实，也同样提供了引力 F 必定与质量 m 成比例的原因！

引力的潮汐力

如果航天员与空间站一起自由下落，重力似乎就消失了，那么重力到底还剩下了些什么呢？它一定会留下存在过的痕迹吧！这是一个全新的问题，爱因斯坦惊人的洞察力将我们引向了这个问题。

好吧，想象一下你自己是一名航天员，在地球上方，但不是在轨道上的空间站内（而是在外面），穿着航天服、用喷气背包在固定的位置盘旋。再想象一下，你的方向是竖直的，头离地球最远，而脚离地球最近。在你的周围，以你为中心的球面上均匀分布着数百颗闪亮的滚珠，它们暂时静止着，就像你一样。如图 30-1 所示。


图 30-1 地球重力的潮汐力作用于自由下落的粒子排列成的球面，导致在水平的“赤道”平面（平行于地球表面）内压缩，而在沿重力场的竖直方向上拉伸。当这个球面下落时，它就开始变成椭圆的蛋形。因为平方反比定律，竖直方向的拉伸力恰好就是赤道方向压缩力的 2 倍

现在关掉喷气背包。你和周围的滚珠球面开始一起自由下落，从静止开始，都朝向地球加速。当你下落时，如果这个滚珠球面发生了变化，你会观察到什么呢？如果引力场是完全均匀的，大小恒定、方向固定，你的答案就会是：“我没有看到任何变化！”重力对你来说真的是看不见的。而且由于地球的实际重力场在这个很小的滚珠球面上是近似均匀的，你也不会看到任何变化……至少一开始没有变化。

然而，慢慢地，你会开始注意到，球面在你头顶和脚下的部分正在加速远离你，而“赤道”部分的滚珠正在朝向你加速。最终的结果是球面开始变成一个和鸡蛋类似的形状！

要理解为什么会发生这一切，看看图 30-1 ，并立即让我们澄清一下：这张图显示了使得这个球面变形成“蛋”的力，而不是“蛋”本身，这个球面的新形状是在球面落向地球一段时间之后形成的。

首先，要意识到赤道上的滚珠和你在同样的高度上，但是并没有完全朝向和你一致的方向相对加速。是的，你和粒子都在以相同的速率向下加速，但你们其实都在向地球中心加速，因此你们的轨迹在慢慢收拢。由于你只看到相对加速度，位于赤道的粒子似乎是直接向你加速的，就像被你吸引一样，如图 30-1 所示。

现在，看看你头顶上方、位于在球面顶部的滚珠，再看看你脚下、位于球面底部的滚珠。与之前的情况不同，你和滚珠现在都朝着同一个方向，笔直地向地球的中心下落。然而，你脚下滚珠的加速度大于你的加速度，因为它们比你更接近引力中心。因此你看到它们开始加速远离你，向下奔向地球。你头顶滚珠的加速度比你的加速度小，因为它们离引力中心更远，所以你向下加速的速度比它们快，于是它们看起来也在远离你，不过是向上加速远离你。因此，这些滚珠似乎在被你排斥，也如图 30-1 所示。

在一个平面内的压缩，以及在正交方向上的拉伸，将球面变形成蛋形曲面的这个现象就称为重力的潮汐力。这就回答了我们受爱因斯坦启发而提出的问题：“自由落体中剩下的重力是什么?”

让我们将这些观察与最初考虑的航天员更直接地联系起来。假设你和你的滚珠球面以任意但相同的速度一起发射出去，而不是从静止开始落下，形成蛋形表面的力会与之前完全一样！特别地，假设这个速度被选择为水平方向的，平行于地球表面，并且假设发射速度被选择为使你和你周围的球面进入围绕地球的圆形轨道。

最后，想象一下，你和你周围的球面在绕轨道运行的空间站内，滚珠换成了其他航天员！如果你仔细观察，我们会发现重力并没有完全消失：一个竖直（即径向）分离的航天员将逐渐加速远离你，而一个水平分离的航天员将逐渐加速接近你。然而，正如我们在下一节将看到的那样，这些潮汐力与粒子的间隔成正比，对于空间站内很短的距离，它们是无法被探测到的。但对于更长的距离，这些潮汐力的影响变得显而易见了，这就引出了我们的下一个话题……

为什么这个引力扭曲力场称为“潮汐”呢？这种现象和海洋潮汐之间有什么联系呢？

想象图 30-1 中的地球换成了太阳，我们这个小球面换成了地球，或者更确切地说，地球表面的一层薄薄的外壳，大致可视为海洋。现在，太阳对地球的潮汐力导致地球面向太阳那一面的海平面朝太阳的方向凸出，地球背向太阳那一面的海平面朝远离太阳的方向凸出，即海平面在这两个相反的方向上上升。这就类似图 30-2 的所有四幅图中用点虚线画的蛋形椭圆圈。

随着地球每 24 小时自转一周，凸起的方向保持不变，所以每个沿海地区每 12 小时就会遇到一个这样的凸起——这就是涨潮！如图 30-2 所示，实际情况比这复杂得多，因为月球也对我们的海洋施加了相同的引力扭曲，尽管月球的质量与太阳相比微不足道，但是它对地球引发的潮汐力的大小大约是太阳引起的潮汐力的 2 倍！实际的潮汐是太阳和月亮的双重潮汐力叠加的复杂结果，它们在一个月球轨道上的相互作用由图 30-2 解释说明。这是牛顿首先弄清楚的，也是《原理》的另一个胜利（Newton, 1687）。

当我们看到满月（图 30-2 左上图）或新月（图 30-2 左下图）时，这种几何结构是最简单的，因为这时月球、地球和太阳排成一行。在这种情况下，月球和太阳引起地球海洋上的凸起也会排列在一行，相互加强，产生落差最大的高潮和低潮，这称为大潮。（注意：大潮全年都会发生，与我们称为“春天”的季节无关。）

当月球和太阳与地球形成直角（图 30-2 的右上图和右下图）时，它们在正交方向上引起海洋凸出，所以太阳引起的较小凸出抵消了月球引起的较大凸出，产生落差最小的高潮和低潮，这称为小潮


图 30-2 海洋潮汐的解释。月球的潮汐力（短划线）和太阳的潮汐力（点虚线）联合起来扭曲了海平面（椭圆形阴影区域），产生了潮汐。（注意：这里不是按比例画的。海洋和潮汐被夸大了很多，而地球到月球的距离缩短了很多！）左上图显示的是月球被照亮的一面面向地球，反射的阳光被我们看作满月。因为太阳和月球的潮汐力在同一直线上，它们相互加强，形成落差最大的高潮和低潮，这就是大潮。右上图显示，较强的月球潮汐力被正交方向的太阳潮汐力抵消了一部分，形成落差最小的高潮和低潮，这就是小潮

根据定义，因为月球每月沿着环绕地球的轨道循行一圈，所以它与地球和太阳排成一条线的情况每月发生两次：一次是月球位于太阳和地球之间（就是我们看到新月的初一），另一次是地球位于太阳和月球之间（就是我们看到满月的十五）。因此，大潮和小潮都是每两周发生一次，小潮和大潮的交替是一周一次的——这是月球绕地球运行四分之一圈的时间，如图 30-2 所示。

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《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》

作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

译者：刘伟安

1. 旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！

2. 200 多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。

3. 原著豆瓣高达 9.9 分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”

4. 译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。

特里斯坦·尼达姆 图灵新知 2024-03-04 19:00 北京