他为证明黎曼假设增添了新基石，也因此精神崩溃

luyuanhong

他为证明黎曼假设增添了新基石，也因此精神崩溃



哥德尔说过，在证明黎曼假设之前，需要为数学找到新的基石。格罗滕迪克的革命性语言就是朝着这个方向迈出的第一步。不过，尽管他付出了很多努力，黎曼假设之峰始终遥不可及，而且还因为政治原因，他最终精神崩溃了。在攻克黎曼假设的路途上，格罗滕迪克不是唯一个“走火入魔”的数学家。

撰文 | 马库斯·杜·索托伊

译者 | 柏华元

格罗滕迪克是艰苦朴素的数学家。除了父亲的油画之外，他的办公室空空如也。这幅油画是他父亲在集中营的室友为他画的。之后，父亲被送进奥斯维辛，于 1942 年罹难。和画像中被剃光头的父亲一样，格罗滕迪克也有一双炽热的眼睛。

格罗滕迪克从母亲那里听说过父亲的革命生涯。尽管对父亲知之甚少，母亲的描述还是对格罗滕迪克产生了深远的影响。

对于格罗滕迪克自己来说，数学是他的革命舞台。在韦伊的基础上，格罗滕迪克也发展出了自己的数学语言。就像黎曼的新视角成为数学发展史的转折点，格罗滕迪克关于几何和代数的新语言见证了全新的逻辑论证的诞生，可以令数学家清晰地表达原来无法表达的想法。这个新的角度可以与18世纪末数学家接受虚数概念的景象相提并论。但是，格罗滕迪克的数学语言并不容易学，连韦伊也因他的抽象世界而感到困惑。

二战结束后，法国高等科学研究所自然而然地成为了布尔巴基学派的家园。他们忙于整理现代数学百科全书，格罗滕迪克成为主要贡献者之一。到了50 岁，老一代数学家退了下来，新鲜的血液注入布尔巴基学派。他们的著作帮助巴黎夺回数学之都的地位。在许多数学家的心中，布尔巴基是一个独立的人，他甚至还申请加入美国数学学会。

法国之外的许多人质疑布尔巴基学派给数学带来的影响，认为他们的整理不全面。很多人批评布尔巴基学派将数学看作成品，而不是仍在继续演化的有机体；他们认为布尔巴基学派求多求全，却忽视了数学古怪和特别的方面。但是，布尔巴基学派则认为，自己的工作被误解了。署名“布尔巴基”的大部头印证了现代数学大厦的坚固，它们旨在成为新的“原本”，与欧几里得 2000 多年前的巨著《几何原本》遥相呼应。

二战前就活跃在数学舞台上的保守派开始抱怨，他们对自己从事多年研究的学科感到陌生。对于使用新的数学语言，西格尔有这样一番描述：

自己对这门学科的贡献被搞得面目全非，这令我反感。整个风格……背离了拉格朗日、高斯、哈代、兰道等数论大师所推崇的简约和真诚。在我看来，这就像一头猪闯进美丽的花园，在其中肆意地大嚼花草。

这种抽象令西格尔对数学的前景感到悲观：“我将这种无意义的抽象称为空集理论。如果不能阻止它成为潮流，我担心数学会在 20 世纪末消亡。”

很多人持同样的观点。听完关于如何通过一个抽象框架证明黎曼假设的报告之后，塞尔伯格这样描述自己的印象：“我认为这类报告在之前从未有过。在听完报告后，我对某人说：‘愿望若是骏马，乞丐亦可驰骋。’”（编者注：暗指只靠空想实现不了愿望）演讲者提出了完整的抽象假设框架。如果这种数学语言适合描述素数理论，那么演讲者早就能证明黎曼假设了。塞尔伯格抱怨说：“他并不想做这些假设。这可能不是思考数学的正确方式。人们应该从自己已经掌握的知识着手。这份报告谈到了一些很有趣的内容，但是它所体现的趋势在我看来非常危险。”

但是，对于格罗滕迪克来说，并不是为了抽象而抽象。在他看来，抽象是数学为了解答问题而必须进行的革命。他写了一卷又一卷来描述新的数学语言。格罗滕迪克有着救世主一般的愿景，并且逐渐吸引了一些年轻的追随者。他的著作篇幅宏大，足足有一万页左右。当到访者抱怨研究所的图书馆环境差时，他回应说：“我们不是来这里读书的，而是来写书的。”

哥德尔说过，在证明黎曼假设之前，需要为数学找到新的基石。格罗滕迪克的革命性语言就是朝着这个方向迈出的第一步。不过，尽管他付出了很多努力，但是黎曼假设之峰始终遥不可及。格罗滕迪克的新语言解开了许多难题，包括韦伊关于方程根的重要猜想，但是没能证明黎曼假设。

实际上，父亲的政治背景才是格罗滕迪克攀登黎曼假设之峰失败的根本原因。格罗滕迪克一生不愿辜负父亲的政治理想。作为坚定的和平主义者，他在 20 世纪 60 年代强烈反对大力发展军事力量。1966 年，格罗滕迪克因在代数几何方面的成就获得菲尔兹奖。不过，他拒绝前往莫斯科领奖，以此抗议苏联的军事策略。

因为长期在数学世界里探索，所以格罗滕迪克在政治方面十分天真。有一次，他本来将作为主要发言人参加一个会议。当看到海报上写着该会议由 NATO（北大西洋公约组织）赞助时，他很天真地去问 NATO 是什么。一了解到这是军事组织，他立即给会议组织者写信，扬言要退出。（为了留住他，会议组织者放弃了赞助费。）1967 年，格罗滕迪克在越南北部的丛林里做了一场关于抽象代数几何的简短报告，以自己充满深奥观点的演讲抗议近在咫尺的战争。

1970 年，格罗滕迪克发现与法国高等科学研究所合作的一些商业机构有军方背景。他直接找到所长莱昂·莫查纳，扬言要辞职。作为研究所的重要创办者，莫查纳不像几年前的会议组织者那么灵活。为了坚持自己的原则，格罗滕迪克离开了研究所。他的朋友认为，格罗滕迪克可能是利用抗议军方资助作为借口来逃离研究所这个“金鸟笼”。在他看来，自己不过是做数学报告的高级文官；相比于呆在舒适的内部环境里，他更乐意在外漂泊。很多人说，数学家在 40 岁之后就很难再建功立业，这令已经 42 岁的格罗滕迪克开始焦虑。如果他的数学生涯从此缺乏创造力，那该如何是好？他不是一个活在以往成就中的人。而且，他越来越对自己没能在绘制海平面上的点这个方面取得进展感到失望。研究所的舒适环境并没有让他比监狱中的韦伊有更多的突破。离开研究所之后，他也几乎告别了数学领域。

格罗滕迪克开始漂泊。他成立了一个名为“生存”的组织，致力于反战和保护生态。同时，他开始修习佛法。他将自己无法实现数学梦想的痛苦化作上千页的自传。在其中，他抨击自己的数学遗产。他无法接受自己曾经的追随者开始领导由他引发的数学革命，并在其上留下他们的个人烙印。

离开法国高等科学研究所 30 年后，格罗滕迪克住在位于比利牛斯山脉的一个偏僻的小村庄里。前去看望他的一些数学家说：“他现在被‘魔鬼’困扰。在他看来，这个无处不在的‘魔鬼’破坏了神圣的和谐。”格罗滕迪克认为是“魔鬼”将光速从 300000 千米/小时变到了“丑陋”的 299887 千米/小时。其实，要在数学世界里自由自在地探索，任何人都需要有一些疯狂的想法。然而，格罗滕迪克花了太多时间探索数学世界的边缘地带，以至于找不到回家的路了。

格罗滕迪克不是唯一因研究黎曼假设而走火入魔的数学家。20 世纪 50 年代末，约翰·福布斯·纳什在成名后也被黎曼假设迷住了。在为纳什所写的传记《美丽心灵》中，西尔维娅·娜萨写道，人们曾经“八卦说纳什和科恩相爱了”。当时，保罗·科恩也在尝试证明黎曼假设。纳什向科恩详细地说明了自己的想法，但是科恩认为他们不会有任何进展。一些人认为，正是科恩的排斥——无论是情感上的还是数学上的——对纳什的精神崩溃负有不可推卸的责任。1959 年，纳什受邀参加美国数学学会在纽约哥伦比亚大学举办的会议，并展示了自己对黎曼假设的证明思路。这就是一场灾难，观众茫然地看着他前言不搭后语地给出一些无意义的论证。格罗滕迪克和纳什的故事都说明了沉迷数学的危险性。（与格罗滕迪克不同的是，纳什恢复了过来，还因为在博弈论领域的突出贡献于 1994 年获得诺贝尔经济学奖。）

虽然格罗滕迪克的精神崩溃了，但是他的数学大厦依然矗立。许多人认为，只要找到缺失的拼图块，就能拓展格罗滕迪克的思路，从而揭开素数的面纱。20 世纪 90 年代中期，数学界开始躁动，下一个格罗滕迪克可能已经出现。



本文节选自《悠扬的素数》（人民邮电出版社·图灵新知）第 12 章《缺失的拼图块》。

马库斯·杜·索托伊 返朴 2024-03-05 08:02 北京