美国数学月刊上一道几何题的三角法证明

波斯猫猫

如图，在锐角 △ABC 中,点 D，E，F 分别是边 BC，CA，AB 上一点，且满足

FD⊥BC，DE⊥CA，EF⊥AB，求证：AF/AB+BD/BC+CE/CA=1 (美国数学月刊的一道几何).


思路(三角法)：看图说话，如图，显然 △ABC∽△EFD. 不用作辅助线，思维简单，从大图填“1”

(不失一般性)开始，按步骤序号依次填出相应线段的值，内圈用正弦定理，外圈用锐角三角函数

的定义，易得出相似比k满足(规律性强，只需算左边第一个简单的)，

sinBsinCcosA+(sinA)^2=sinCsinAcosB+(sinB)^2=sinAsinBcosC+(sinC)^2=ksinAsinBsinC.

把各线段的值代入计算并化简有((规律性强，只需算左边第一个. 仅一处用到和角的正弦及诱导公式)，

AF/AB+BD/BC+CE/CA=(sinBsinCcosA+sinCsinAcosB+sinAsinBcosC)/[sinAsinBcosC+(sinC)^2]

=[(sinC)^2+sinAsinBcosC)]/[sinAsinBcosC+(sinC)^2]=1.

注：相关信息见本论坛数学期刊《用朴素的方法证明美国数学月刊的一道几何题》.

luyuanhong

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波斯猫猫

数学可以玩成：数学旅游，看图说话，按逻辑依图中序号游揽赏各个景点，并结合推理、
计算和论述，可谓图文并茂，相得益彰，给人以新奇之感. 表达方式亦是一种新的尝试.