ABCD为平行四边形，E∈AB，F∈BC，ΔAED,ΔEBF,ΔCDF面积分别等于 7,3,6，求ΔDEF面积

wintex

請問數學

elim

注记：(1) 这样的平行四边形有无穷多;
\(\qquad\,\)(2) \(|\triangle DEF|=2\sqrt{22}\) 是无理数，周边三角形的面积均为整数，有趣.

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

题：ABCD为平行四边形，E∈AB，F∈BC，ΔAED,ΔEBF,ΔCDF面积分别等于 7,3,6，求ΔDEF面积。

思路：如图，a(b-m)sinθ=14，b(a-n)sinθ=12，mnsinθ=6，

故am=ab-7mn/3，bn=ab-2mn，即am+bn=2ab-13mn/3，或a/n+b/m=2ab/mn-13/3。

设平行四边形的面积为t，则2t=amsinθ+14=6a/n+14，即t=3a/n+7。同理有t=3b/m+6。

故2t=3(a/n+b/m)+13=3(2ab/mn-13/3)+13=6ab/mn，即t=3ab/mn。

又abmn=(ab-7mn/3)(ab-2mn)，即ab/mn=(ab/mn-7/3)(ab/mn-2)，解得ab/mn=2(8±√22)/3。

故S=t-16=3ab/mn-16=2(8±√22)-16=2√22(负的舍去)

波斯猫猫

题：ABCD为平行四边形，E∈AB，F∈BC，ΔAED,ΔEBF,ΔCDF面积分别等于 7,3,6，求ΔDEF面积。

思路(改进解)：如图，设a=(x+1)n，b=(y+1)m，则

a(b-m)sinθ=mny(x+1)sinθ=14，b(a-n)sinθ=mnx(y+1)sinθ=12，mnsinθ=6，

故3y(x+1)=7，x(y+1)=2。解得3(x+1)=1+2√22，3(y+1)=2+2√22 。

平行四边形的面积为t=mn(x+1)(y+1)sinθ=6(x+1)(y+1)=2(1+2√22)(2+2√22 )/3

=16+2√22 ，故S=t-16=2√22。

wintex

請問如果改成矩形算，為何答案會不一樣？譬如這題

波斯猫猫

小fisher
说错了，把asinθ表示成h，nsinθ表示成h1，可以省2个变量，即(b-m)h=14, b(h-h1)=12, mh1=6  发表于 2024-2-28 09:09
小fisher
把asinθ表示成h，nsinθ表示成h1，可以省一个变量  发表于 2024-2-28 09:05

象打麻将一样，搭子没配好，但还是割牌了。下面搭子配好了。

elim

wintex 发表于 2024-2-27 05:30
請問如果改成矩形算，為何答案會不一樣？譬如這題

矩形也是平行四边形．结果不会不一样．

wintex

elim 发表于 2024-2-28 22:26
矩形也是平行四边形．结果不会不一样．

elim 老師，我舉的那個例子，6F,為何矩形，平形四邊形，
算出來都一樣？