自然数 a,b,c 满足 a＞b＞c＞1，ac=b^2，a+b+c=111，满足条件的数组 (a,b,c) 有几个？

cloudater

不好意思，我又来麻烦各位了。

我小朋友做题，遇见如下题目，完全没有思路。请问，怎么解呢？

自然数a,b,c满足a>b>c>1，ac=b^2, 且a+b+c=111，则满足条件的数组(a,b,c)有几个？

我实在没办法，写了个脚本跑出来，就一个结果：

a: 48, b: 36, c: 27

麻烦各位了。

uk702

如此这般？

Treenewbee

采用瞪眼法可注意到(100,10,1)也是一组解

Treenewbee

abc等比数列。 \[c(t^2+t+1)=111 \rightarrow(c=1,t=10)\]

lihp2020

1
范围控制  简单缩减
1<c<37
2
111=3*37
要么c=N^2  ===>4,9,25,36
要么C =3*N^2 ===>12,27
3
6选1  代入验证

uk702

由 a>b>c>1，知 c < 37。同样设公比为 p/q，于是有 \( 111q^2= c(q^2 + pq +p^2) \)，
而 \( q^2 + pq +p^2, q^2 \) 互素
∴  \( q^2 | c \)，即 c 有平方因子，
case 1: q = 1, 且 \( c | 111 q^2 \)，∴ c=1, 3
case 2: q = 2，且 \( c| 111 q^2 \)  和 \( q^2 | c \)，∴ c=4, 12,
case 3: q = 3 且 \( c| 111 q^2 \)  和 \( q^2 | c \)，∴ c= 9，27
case 4: q = 4 且 \( c| 111 q^2 \)  和 \( q^2 | c \)，∴ c= 16
case 5: q =5 ，由于 q^2 | c ，∴ c = 25
case 6: q =6 ，由于 q^2 | c ，∴ c = 36
case 7: q>6，这时 c> 36，无解

再逐个验证。

----

参照 #5，由 \( q^2 | c \)  及 \( c | 111q^2 \implies c=q^2 或 c=3q^2 或 c=37q^2 或 c=111q^2\) ，后两者必然导致 c>=37，
∴ 只有两种可能 \( c= q^2 \) 或 \( c = 3q^2 \)

波斯猫猫

题：自然数 a,b,c 满足 a＞b＞c＞1，ac=b^2，a+b+c=111，满足条件的数组 (a,b,c) 有几个？

思路：由条件有，a^2+c^2=(111-b)^2-2ac=(111-b)^2-2b^2＞2ac=2b^2，

即(111-b)^2-4b^2＞0。解得b＜37。

令b=37-r，c=37-r-e，则a=37+2r+e (r，e∈N+，r＜37)。

又由ac=b^2有(37+2r+e)(37-r-e)=(37-r)^2，即3r(37-r-e)=e^2。

(1)若e^2=3r，则37-r-e=1，即c=1。这与c＞1不合。

(2)若e含3r，令e=3rm (m∈N+)，则37-r-3rm=3rm^2，或r(3m^2+3m+1)=37。

从而r=1，且m=3或e=9。故a=48，b=36，c=27。

cloudater

Treenewbee 发表于 2024-2-18 17:36
abc等比数列。 \[c(t^2+t+1)=111 \rightarrow(c=1,t=10)\]

有道理！这点我家小朋友没想到。这个思路我回家让她试试看。

感谢啊！

cloudater

Treenewbee 发表于 2024-2-18 17:29
采用瞪眼法可注意到(100,10,1)也是一组解

大于1，不符合题目了。

cloudater

波斯猫猫 发表于 2024-2-18 23:21
题：自然数 a,b,c 满足 a＞b＞c＞1，ac=b^2，a+b+c=111，满足条件的数组 (a,b,c) 有几个？

思路：由条件 ...

感谢。这个思路很清晰了。我先不告诉小朋友。先用等比这个思路来做。