为什么不是牛顿和开普勒，而是欧拉？

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为什么不是牛顿和开普勒，而是欧拉？

作者  [日]伊藤清 图灵新知 2024-02-06 19:00 北京



欧拉发明了现在被称为“摄动理论”的方法并求出了近似解，得出与实际测量值吻合的理论值。这就是行星轨道图的由来。

差不多 10 年前，我在 ETH（苏黎世联邦理工学院）授课，曾在苏黎世居住了 4 个月左右。当时我发现，在旧版 10 瑞士法郎的纸币上印着拉昂哈德·欧拉的肖像。在数论、拓扑学、微积分学、微分方程论、变分法、力学（质点、刚体、弹性体、流体）等数学的大部分分支中都可以见到欧拉的名字，我自然也对欧拉抱有兴趣，只不过觉得纸币背面的图有些奇怪。那是一个行星轨道图，图中行星及其卫星绕着太阳转动。我觉得这张图与牛顿和开普勒更相称，并不适合欧拉。回日本之后，我读了《科学传记辞典》（Dictionary of Scientific Biography）中欧拉的事迹，这时我才明白纸币背面为什么是那张图。



18 世纪最伟大的数学家欧拉于 1707 年出生在瑞士的巴塞尔。他 18 岁开始研究数学，1727 年应圣彼得堡科学院的邀请来到沙俄首都圣彼得堡（苏联时期改名为列宁格勒），在那里度过了 14 年的时光。1741 年受邀进入设立在普鲁士王国首都柏林的柏林科学院，在那里工作了 25 年之久。虽然最后成为院长并在学术上大放异彩，但晚年与对数学知之甚少的腓特烈大帝发生不快，于是在 1766 年，应叶卡捷琳娜大帝的邀请再次回到圣彼得堡科学院。在叶卡捷琳娜大帝的庇护下，欧拉在之后的 17 年里一直居住在圣彼得堡近郊，从事着数理科学的研究和教育工作，并留下了伟大的成果，最终于 1783 年辞世。

对行星运动的数学理论的研究，是从牛顿应用他在 17 世纪末发表的三大运动定律和万有引力定律从数学上推导出开普勒定律开始的。由此，牛顿创立了微积分的方法。

欧拉认为莱布尼茨的方法比牛顿的方法便捷得多，因此发展了莱布尼茨的理论并创建了与现在的形式相近的微积分学。因为涉及微分方程，所以我们称其为分析学可能更合适。欧拉以此将牛顿的质点力学发展成刚体力学、弹性力学、流体力学。在那个年代，想要建立能描述刚体、弹性体和流体的方程，必须使用牛顿的三大运动定律和万有引力定律。欧拉构筑分析学的契机是对力学中出现的微分方程进行求解，可以说欧拉的分析学与力学是一体的。这么说，也许应该将欧拉创建的微积分学称为数理科学。总而言之，欧拉将牛顿的力学原理与莱布尼茨的微积分原理统一起来，创建了数理科学。

前面的内容虽然聚焦在分析学上，但欧拉也涉足曲面论、数论、变分法的研究，可以说他着眼于数理科学的全部分支。更令人惊叹的是，欧拉在应用自己的数学理论时，甚至会在意计算的数值和实际的测量值是否相符。

下面我们将话题转回到行星轨道图上。前面说过牛顿从数学上推导出开普勒定律，但这仅限于解决二体问题，此后对木星、土星的观测结果也和理论值相差甚远。因此一时之间，出现了很多对牛顿力学持怀疑态度的学者。不过，学者们的批判点偏离了主题，问题的症结其实在于三体问题（或者说多体问题）。这个问题与二体问题一样，并不能利用当时已被人们掌握的初等函数知识来解决。对于三体问题，欧拉也只是发现了它的特殊解（欧拉的直线解）。虽然达朗贝尔和克莱罗也对此进行了研究，但欧拉发明了现在被称为“摄动理论”的方法并求出了近似解，得出与实际测量值吻合的理论值。这就是行星轨道图的由来。

这个故事还有一个有趣的插曲。在欧拉关于轨道理论的众多研究中，最著名的还数他的月球运动理论（1753 年）。利用这个理论中的公式，德国天文学家托拜厄斯·迈耶（Tobias Mayer）制作了月球表。这张表刊载于《航海天文历》，而后被使用了约一个世纪。其实在这张表出现的四十年前，英国议会曾宣布，能将大洋中经度测量的误差缩小到半度之内的人可获得高额奖金，能提供与此精度近似的方法的人可获得小额奖金。1765 年，为表彰制作了月球表的迈耶，迈耶的遗孀获得了 3000 英镑的奖金，作为这张表的理论基础的月球运动理论的创始人欧拉，也被授予了 300 英镑的奖金。与此同时，约翰·哈里森（John Harrison）因发明了近乎完美的航海精密计时器，被授予了高额奖金。

欧拉将现在被称为分析学的数学分支称为无限分析学，他将这个分支理解为有限分析学（代数学）的延展。虽然在联系二者时欧拉使用了极限这个形式，但他并没有考虑其在数学上的严密定义。无限分析中一直使用“如果 a 远小于 A，则 A+a=A ”这样的逻辑，因此，“无限分析是一种不正确的理论”这样的声音屡屡出现。欧拉打算思索很多实例，制定出计算法则，以此回应这些批判声，但没能坚持下去。或许有 18 世纪的非标准分析就好了。

欧拉自然了解级数的收敛与发散的区别，他也在加速级数收敛的变换，也就是欧拉变换上下足了功夫，还进一步考虑了有效利用发散级数的方法，得出了多个重要级数的求和公式。欧拉还有一项重要的成就，那便是引入了数学符号。不仅是数学符号，欧拉还开创了一般函数的概念。当时他使用幂级数来表示多项式的无限化，并将注意力全部集中在了能用幂级数表示的函数上。不过在振动的弦的运动力学研究中，欧拉接触到了无法用幂级数表示的函数，因而引入了与现在的函数概念十分接近的一般函数。

欧拉认定 a+bi 是复数的便捷表示形式。他将复变函数用幂级数表示，并讨论了它的微积分，得出现在我们在复变函数论课程中学到的诸多定积分公式。

关于微分方程，虽然欧拉也得出了许多有用的结论，但在基本定理方面，用代数（有限分析）方法求解近似的差分方程时，欧拉运用了令 △x=0 求微分方程的解并由此推导出其他定理的方法。欧拉在变分法领域推导欧拉方程时也使用了类似的方法。

欧拉使用以这种方式构造出的分析学，在曲面几何学、受约束质点动力学、刚体力学、流体力学等领域的研究中取得了非凡成就。当时的数学物理学家普遍只满足于解决眼前的问题，但欧拉会思考解法中蕴含的分析学本质，使无限分析得到发展。

如前所述，欧拉的无限分析虽然对无限小和复数的处理存在一些瑕疵，但经由 19 世纪高斯（Gauss）和柯西（Cauchy）的完善，最终以十分严密的形式被记录下来，其本质也趋于明朗，这也拉开了 19 世纪分析学黄金时代的序幕。现在，那些没有用欧拉命名的概念或定理中也有不少起源于欧拉的研究。欧拉开垦了18 世纪分析学的荒地，播撒下无数种子，不由令人感叹。

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作者：[日] 伊藤清

译者：刘婷婷

沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父 日本数学大家 伊藤清

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