他认为，上帝只创造了“整数”，其他“数”全是人造的，没实际意义！

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他认为，上帝只创造了“整数”，其他“数”全是人造的，没实际意义！

原创 Masir123 科学羊 2024-01-11 07:28 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 7 篇。

今天我们来聊一个人，对于他，就像对于毕达哥拉斯，他认为：只有上帝赋予的整数 1,2,3,… 才“存在”，其余都是人造的，没有意义研究！

所有其余的数都是人类想要作出比这位创造者更好的东西的无效尝试。

当然，他没有毕达哥拉斯那么固执或心狠，反而是一个温和性格且善于与人友好相处的，以及与已经在世界上崭露头角或将要崭露头角，而且会在商业或数学上对他有用的人结成永久友谊的的人。

在他有生之年不仅结交了不少数学大师，同时也与另一位数学大师的争论成了数学史的一段佳话。

今天我们要谈的这个人是 19 世纪的一位重要数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker,1823—1891）。


克罗内克

我们先聊聊他的数学功绩吧。

01 克罗内克的数学功绩

代数数论：在代数数论领域做出了重要贡献。他研究了代数整数的理论，并对理想的概念作出了重要贡献。这些工作对后来的代数几何和数论有着深远的影响。

克罗内克-韦伯定理：这是他在数论领域的一个著名成果，它涉及到代数扩张和代数数域的理论。

克罗内克积（Kronecker Product）：在矩阵理论中，克罗内克积是一种特殊的矩阵操作，应用广泛，特别是在多线性代数和张量分析中。

数学哲学观点：克罗内克对数学的哲学观点也颇有影响。他是数学构造主义的早期倡导者之一，坚信数学概念应当建立在整数的严格基础上。

与其他数学家的合作：克罗内克与当时的许多著名数学家，如卡尔·魏尔斯特拉斯和恩斯特·库默尔，有着密切的合作关系。

02 克罗内克积-图像放大的原理

这里主要讲解下一个简单很具有代表性的数学概念，小学生也看得懂。即

克罗内克积。

克罗内克积是矩阵运算中的一个概念，用于创建两个矩阵的“张量积”。这个操作在多个领域都很有用，比如在量子计算、控制理论、信号处理等领域。

数学原理如下：

假设我们有两个矩阵 A 和 B：

矩阵 A 是一个 m×n 矩阵（m 是行，n 是列），

矩阵 B 是一个 p×q 矩阵（p 是行，q 是列）；

那么，A 和 B 的克罗内克积（记为 AB) 将是一个 (mp)×(nq) 的矩阵。

具体例子

假设矩阵 A 和 B 如下表示：





那么它们的克罗内克积 AB 是：



我们用真实矩阵来算一下就这这样。







可以看到，克罗内克积生成了一个更大的矩阵，其元素是两个原始矩阵元素的所有可能组合的乘积，这种操作在处理多维数据结构时非常有用。

克罗内克积具体有什么用？

量子计算：在量子计算中，用于描述量子系统的组合状态。例如，两个量子比特（qubits）的状态可以通过它们各自状态的克罗内克积来表示。

信号处理：在信号处理领域，克罗内克积用于构造多维信号空间。它可以帮助分析和处理多通道信号，比如在图像处理或多维滤波器设计中。

控制理论：在控制理论中，被用来表示和分析多变量系统的动态。它有助于简化复杂系统的数学表示，特别是在处理线性时变系统时。

统计学与数据分析：克罗内克积在构建和分析多元统计模型时非常有用。

它能够帮助研究者在多维数据集上应用线性模型，特别是在处理面板数据和多维数组时。

图像处理：在图像处理中用于图像的重构和变换（后文有数学原理案例）。它在图像压缩和重建中保持图像数据的结构特征，机器视觉的人估计比较清楚。

数值分析：克罗内克积常用于大型稀疏矩阵的表示和操作。在解决一些大规模线性代数问题时，它提供了一种有效的数值方法。

我们举个工程中的案例，比如图像处理，图像放大的原理，就用到了这个算法。

图像放大的基本步骤：



选择原始图像：首先，选择一个需要放大的图像。这可以是任何图像，例如一个简单的黑白图像。

定义放大因子：放大因子决定了图像将被放大多少倍。例如，一个 2× 的放大因子意味着图像的每个维度（宽度和高度）都将增加两倍。

创建放大矩阵：这里使用克罗内克积。对于一个 2× 放大，我们创建一个 2×2 的矩阵，其中每个元素都是 1 。这个矩阵将与原始图像的每个像素进行克罗内克积操作。

应用克罗内克积：将放大矩阵与原始图像的每个像素进行克罗内克积。结果是原始图像的每个像素都被替换为一个更大的像素块，其中包含相同的值。

生成放大图像：完成上述步骤后，得到的就是放大后的图像。

在这个例子中，我们首先定义了一个简单的二维图像矩阵（可以理解为一个小区域的灰度图像）



然后，我们定义了一个放大因子为 2 的放大矩阵，即一个 2×2 的矩阵，其中每个元素都是 1 。



通过将这个放大矩阵与原始图像的每个像素进行克罗内克积，我们得到了放大后的图像。



如结果所示，原始图像的每个像素值被扩展为一个 2×2 的块，其值与原像素相同。这种方法有效地将图像放大了两倍，同时保持了图像的基本结构。这种方法在实际应用中通常会与其他图像处理技术（如插值算法）结合使用，以改善放大后图像的质量。

好，回到主题，我们来聊聊克罗内克。

03 克罗内克的生平


利奥波德·克罗内克，来自 wiki

利奥波德·克罗内克，这位数学界的巨星，于 1823 年 12 月 7 日在普鲁士的利格尼茨诞生，他的人生从一开始就充满了舒适与优越。

作为一个富裕犹太家庭的儿子，他的成长环境为他后来的成就奠定了坚实的基础。

然而，历史上关于他的记载，往往忽略了他的母亲，专注于他的父亲——一位拥有繁荣商业和对哲学无尽渴望的教育者。

利奥波德继承了他父亲对哲学的热爱，并由此开启了他的学术之路。

他的弟弟胡戈，成为了波恩大学的知名生理学家和教授，而利奥波德则在家庭教育下成长，接受了私人教师的启蒙。

在利奥波德的教育旅程中，尤其是在他为大学预科做准备的学校里，他受到了校长维尔纳的深刻影响。

维尔纳不仅在哲学和神学方面给予了克罗内克深刻的印象，还将一种开明的基督教神学思想传授给了他，这一思想终其一生影响着他。

事实上，克罗内克在 68 岁时从犹太教改信了福音派基督教，这一转变是在他确信基督教对他的六个孩子无害之后做出的谨慎决定。

在大学预科，克罗内克的数学才华开始闪耀，尤其是在库默尔的指导下。（库默尔的故事后面讲）

库默尔不仅是克罗内克的老师，还成为了他终生的朋友和导师。

库默尔、维尔纳和老克罗内克这三位导师，巧妙地激发和塑造了利奥波德卓越的天赋，为他未来的道路打下了基础。

克罗内克的人格特质也在早期教育中显现出来。他天生具有结交朋友的能力，尤其是那些在商业或数学上对他有助益的人。

这种寻求正确友谊的天赋成为了他事业成功的重要因素，且他一生都未曾失去这种能力。

学术上，克罗内克表现出了多方面的才华。除了对希腊和拉丁古典文学的深厚兴趣外，他在希伯来语、哲学和数学方面也有杰出表现。

他的数学才能尤为突出，但他并没有将所有的精力仅仅集中在数学上，而是努力追求一种广泛而丰富的教育。

除了正式学业外，他还是一位有造诣的钢琴家和歌唱家，他的生活中充满了多元化的兴趣和爱好。

1841 年春，克罗内克进入柏林大学，继续他在多个领域的深入学习，特别是在数学方面。在那里，他受到了狄利克雷、雅可比和施泰纳等众多数学大师的影响。

特别是狄利克雷在分析学对数论应用方面的影响，在克罗内克成熟的著作中表现得淋漓尽致。而雅可比则激发了他对椭圆函数的热爱，克罗内克在这一领域取得了令人瞩目的成就。

在大学期间，克罗内克的生活不仅局限于柏林，他还在波恩大学学习，接受老师和朋友库默尔的进一步指导。

1845 年，他在柏林大学以一篇关于代数数域中单位元素的论文获得了博士学位。

利奥波德·克罗内克，在 25 岁那年，这位充满活力的年轻企业家展现了他的商业头脑和个人魅力。

1848 年，他与自己的表妹、富裕舅父的女儿范尼·普劳斯尼茨尔结婚，这段婚姻不仅是一次精明的选择，也是一场浪漫的邂逅。他们建立了一个幸福和谐的家庭，共同抚养了六个孩子，其中四个孩子活得比他们的父母还要长久。

克罗内克的婚后生活可以说是理想的化身，他和他的妻子共同培育孩子，尽显天赋和爱心。

不幸的是，当克罗内克面临人生最后一次的疾病之前，他的妻子离世，这对他造成了无法弥补的损失。

在从事商业活动的八年间，克罗内克没有进行任何数学工作。然而，1853 年他发表的一篇关于方程代数解的重要论文证明了他在数学上并未停滞。

即便在忙碌的商业生活中，他仍然保持着与他的老师库默尔的科学交流，并在从商业活动中抽身后访问了巴黎，与埃尔米特等一流的法国数学家建立了联系。

这表明，即使在商业压力之下，克罗内克并没有放弃与科学界的联系，而是通过数学来激活和保持他的思维活力。

克罗内克在伽罗瓦理论方面的工作体现了他的许多优秀特质。当时，只有少数人理解伽罗瓦的方程理论，而克罗内克已经掌握了这一理论。

他的工作不仅是对前辈们的成果的继承，更是在其基础上加入了自己的创新，创造了具有个人特色的杰作。

他的文章经常展示了全面的发展和内在含义，但却避免了过分繁杂的细节，从而给后继者们留下了宝贵的启示。

在大多数作品中，克罗内克被认为是“算术学家”，他的目标是通过简明的公式来阐述原因和结果，从而在达到顶峰时，可以清晰地看到从前提到结论的不可避免性。

他的作品中细节和次要内容被精简，只留下了极其有力且简单明了的论点。他是一个使用数学公式作为工具的艺术家。

克罗内克对伽罗瓦理论的贡献使这一学科从少数人的私有财产变成了所有代数学家的共有财富。他的目标在于寻找自然方法，直观且符合口味的问题，而不是科学定义的问题。

克罗内克在数学上的许多工作都有着明显的算术色彩。他试图将整个数学，从代数到分析，都算术化。

他坚信“上帝造了整数，其他一切都是人造！”，并要求用有限的算术来取代分析，这成为了他与魏尔斯特拉斯的分歧之源。

虽然普遍的算术化可能对于现代数学来说是一个狭隘的理想，但它至少在清晰性上有其优势。

克罗内克的工作中，他最感兴趣的数论、方程论和椭圆函数被编织成一个美丽的模式，展示了意想不到的对称性和相似性。

他用来工作的每一个工具似乎都是为其他工具的有效运用而设计的。

他不满足于将这种神秘的统一仅作为神秘接受，而是寻求并在高斯的双二次型理论中找到了它的基础。

直到生命的最后十年，克罗内克一直是一个自由的学者。在柏林科学院院士的身份下，他在柏林大学讲课，自愿承担了科学职责而没有接受报酬。

从 1861 年到 1883 年，他在大学指导正规课程，主要讲授自己的研究成果。

1883 年，他接替了退休的库默尔成为柏林大学的常任教授。在这一生阶段，他多次旅行，成为了多个国际科学会议的常客。

在担任讲师的整个生涯中，克罗内克与魏尔斯特拉斯和其他知名人士竞争，他的课程因其清晰的引言和高深的内容而备受学生喜爱。

然而，随着课程的深入，许多学生逐渐离开，只留下了少数忠实的追随者。克罗内克对此心存满意，他热爱教学，热爱与学生们的交流。

在分析学上的怀疑态度使克罗内克成为了一位哲学怀疑者。他的工作在哲学方面最具独创性，他的批判性观点对数学产生了深远的影响。

他的怀疑主义虽然不被当时的同行所接受，但却为后来的数学家所珍视。

克罗内克与魏尔斯特拉斯的争论，尽管有时显得激烈，但不应留下不愉快的印象。

克罗内克的生活充满了慷慨和热情，他不仅是一位卓越的数学家，更是一个深爱着周围人的人。

克罗内克于 1891 年 12 月 29 日去世，享年 69 岁。

他的生命是数学史上一个独特而充满色彩的篇章，他的贡献和哲学思想至今仍在数学领域引起深刻的思考和讨论。

       

总结：

笔者认为，从当代的角度来看，克罗内克和威尔斯特拉斯的争论展示了数学方法论的多样性，并且两种观点都在数学的不同领域中发挥着重要作用。

在数学的发展历史中，这种多样的方法论对于推动数学的进步至关重要。

好，今天就先这样啦～

祝幸福～

参考文献：

[1]. 《数学大师》

科学羊 2024/01/11