否证春氏\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞\{m\mid k< m\in\mathbb{N}\}\)非空

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2024-1-26 14:53
先生用不着截圆，周民强的《实变函数论》，我想请教先生，当逻辑确定那个趋于无穷的n后，那个趋向于无穷 ...

请先给出是哪本书上定义了自然数集中存在“那个趋向于无穷的\(n\).”

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2024-1-26 14:53
先生用不着截圆，周民强的《实变函数论》，我想请教先生，当逻辑确定那个趋于无穷的n后，那个趋向于无 ...

周民强例5中的集合是实数轴上的半开半闭区间。为说明问题，现统一符号如下：

\(\forall k\in\mathbb{N},A_k=\{m\mid k<m\in\mathbb{N}\}=\{k+1,k+2,\cdots\},B_k=\{m\mid k\leq m\in\mathbb{N}\}=\{k,k+1,\cdots\},C_k=[k,\infty)\). （其中\(C_k\) 是例5中的递减集合列。）那么显然有 \(\forall k\in\mathbb{N},A_k\subset B_k\subset C_k,\) 所以\(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k\subset\bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k\subset\bigcap\limits_{k=1}^\infty C_k.\) 于是根据递减集合列极限定义，有\(\lim\limits_{n\to\infty}A_k\subset\lim\limits_{n\to\infty}B_k\subset\lim\limits_{n\to\infty}C_k\). 周民强已经证明\(\lim\limits_{n\to\infty}C_k=\varnothing,\) 那么很自然有\(\lim\limits_{n\to\infty}A_k=\lim\limits_{n\to\infty}B_k=\varnothing.\)

痛打落水狗

请看《实变函数论》定理1.1下方如何定义集合族的并集与交集，其中根本没有、也用不到“那个趋于无穷的自然数”。

春风晚霞

是的，在不考虑自然数集N中的每个数都存在后继的情况下，确实不需要考虑“那个趋于无穷的自然数”，但如果确实需要考虑每个自然数都后继的话，也就止须考虑“那个趋向于无穷的n”了。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2024-1-26 15:21
周民强例5中的集合是实数轴上的半开半闭区间。为说明问题，现统一符号如下：

\(\forall k\in\mathbb ...

谢谢解读，还有几个问题需要请教。①，因为N中的数只有更大，没有最大，是不是应该有任给n∈N，则必存在n的后继n+1；②、按周氏的\(B_k=\{k,k+1,k+2,…\}\)有\(\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ B_k=N\)，但按春氏的\(A_k=\{k+1,k+2,k+3…\}\)则\(\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k\subset N\)；③周氏的\(A_n=[n，∞)\)是连续的左闭右开区间，根本谈不上n的后继，而春氏的\(A_n=\{n|n>k\;\;n,k∈N\}\)是数列，所以必须考虑n的后继。所以春氏明知周民强先生《实变函数论》例5的结果，也不轻意放弃\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k≠\phi\).先生以为如何！

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2024-1-26 15:27
请看《实变函数论》定理1.1下方如何定义集合族的并集与交集，其中根本没有、也用不到“那个趋于无穷的自然 ...

考虑以下几个问题，必须考虑n的后继①，因为N中的数只有更大，没有最大，是不是应该有任给n∈N，则必存在n的后继n+1；②、按周氏的\(B_k=\{k,k+1,k+2,…\}\)有\(\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ B_k=N\)，但按春氏的\(A_k=\{k+1,k+2,k+3…\}\)则\(\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_k\subset N\)；③周氏的\(A_n=[n，∞)\)是连续的左闭右开区间，根本谈不上n的后继，而春氏的\(A_n=\{n|n>k\;\;n,k∈N\}\)是数列，所以必须考虑n的后继。所以春氏明知周民强先生《实变函数论》例5的结果，也不轻意放弃\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k≠\phi\)},先生以为如何！

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2024-1-26 16:55
考虑以下几个问题，必须考虑n的后继①，因为N中的数只有更大，没有最大，是不是应该有任给n∈N，则必存在 ...

请你再完整读一读《实变函数论》第一章前几节，不难发现本人的证明已经足以说明问题。这些结论与皮亚诺公理并无矛盾之处，实际上我也并没有发现你的帖子指出过任何具体的矛盾。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2024-1-26 17:01
请你再完整读一读《实变函数论》第一章前几节，不难发现本人的证明已经足以说明问题。这些结论与皮亚诺 ...

例：证明下列各题
       ①、若\(A_n=[n，∞)\)(n=1，2，…),则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\phi\)(选自周民强《实变函数论》P9例5.
       ②、若\(B_k=\{m|m>k\;\;m,k∈N\}\)
【证明】①、因为集合列\(\{A_k\}\)单调递减，所以\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞ A_n=\displaystyle\lim_{n→∞}[n，∞)=[∞，∞)=\phi\)
②、因为集合列\(\{B_k\}\)单调递减，且k∈N，所以对任意的K必存在相应的后继列\(\{k+1，k+2，k+3……\}\)，故此\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞ A_n=\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1，n+2，n+3…\}≠\phi\)

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-26 05:25
例：证明下列各题
       ①、若\(A_n=[n，∞)\)(n=1，2，…),则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A ...

春风先生楼上的帖子还是说明没弄懂集合的极限：
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,n+3,\ldots\}\subseteq\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing\)

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-27 00:53
春风先生楼上的帖子还是说明没弄懂集合的极限：
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,n+3,\ldots ...

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，n+3,…\}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}[n，∞)\)？！