与垂心有关的三线共点

ccmmjj

当然用向量商的软件是容易的，只是我纯几何癖自娱自乐而已。

denglongshan

用向量商的確容易，但是向量商目前只局限於平面，期待完善

denglongshan

試試這題，計算發現。
D是垂足，O,H是外心和垂心，\(M_{BC},M_{H},M_{A}\)分別是BC,DH和DA的中點，H,D是\(M_{H}'M_{H}\)和\(M_{H}'M_{H}''\)的中點，，G是三角形\(M_{A}M''_{H},M_{BC}\)的重心，求證：DHDA=DBDC，OH\\\(DG_{1}\).

ccmmjj

如图，连接AD，把辅助线补足。这时简单的得到AD∥BH，就可以开始以下证明了。

先设DE交BH于J，连接FJ，只要证明FJ和FI是同一条直线即可。
由已知，EF=EB，可得EA=EK，推出BF∥AK；而又有BD∥AI，得 弧DF=弧KI，于是FI∥DK。
再由AD∥BH，有EJ/ED=EB/EA=EF/EK，得 FJ∥DK。
两者综合即知 FJ和FI是同一条直线。