什么？自然数和它的平方数一样多？庞加莱很生气说：这是一种“病态”数学！

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什么？自然数和它的平方数一样多？庞加莱很生气说：这是一种“病态”数学！

原创 Masir123 科学羊 2024-01-16 07:25 发表于广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 13 篇。

今天到明天的 2 节我们来聊聊关于无穷的数学知识。



大家先请看看上面的这个图形，乍一看，是不是会觉得线段 AB 比 CD 长？

答：其实他们一样长！

你是不是发现，直觉有时候不靠谱啊。

有时候直觉不仅仅是不靠谱，还是迷信的根源！

欧几里得在他所撰写的《几何原本》中说：总体总是比部分大。

我们的直觉会说：这是当然！

比如，你所在的公司共有 53 人，其中 A 部门 29 人，B 部门 24 人，显然 A 部门人数多，但 A 部门人数再多，也多不过总公司的人数。

当然，以上的例子是针对有穷集合，那么对于无穷集合呢？

这里有两个无穷集合：

自然数集合 = {0，1，2，3，4，5，6，7…}；

自然数的平方数集合 = {0，1，4，9，16，25…}；



想想，自然数和自然数的平方数哪个多？

这还用想吗？画个图都知道自然数要多呢！

先别急着回答，在讨论这个问题之前，让我们先回到中世纪。

1629 年，为支持“日心说”，伽利略写了一本名为《关于两大世界体系的对话》的书，现在我们都知道了，他也为此被教会判处终身监禁。

不过，重点是，在监禁期间，他又写了一本《两种新科学的对话》，这本数主要通过对话方式讲了一个数学哲学问题。

有意思的是这个对话和我们今天讨论的有点相似，且看。

在书中，通过对话的方式解释了无穷的各种形式，他从最好理解的那类无穷开始，伽利略解释了一个圆可以被细分为“无穷多个”无限小的小三角形。



然后，在书中，他说道：“其实，平方数 = 自然数。”



其实，伽利略在这本书中说明了无穷集合的一个重要性质：一个无穷集合的元素个数可以“等于”它的子集合元素个数——总体和部分的个数竟是一样的！

怪异吧？

伽利略本想再写一本关于无穷的书，后来就没有后来了，也不知为什么...


康托尔

两百多年之后，康托尔对这个问题没有点到为止，他进行了系统的研究。

康托尔首先建立了集合的一些基本概念，他把集合元素的个数称为“基数”（Cardinality），集合 A 里有 3 支笔，称该集合的基数为 3 ，也可表示为 Card（A）= 3 或｜A｜= 3 。

康托尔认为，要判断两个集合的元素是不是个数相同，要看这两个集合里面的元素能不能建立起一一对应关系，如果可以，我们就可以说这两个集合“基数相同”。

比如有个农民要数自己上午放走出去了多少羊，他用一个小石子代替一只羊，就这样羊和石头的一一对应关系。



康托尔正是采用了这种一一对应的方法证明了自然数、自然数的平方数、整数，在个数上是一样多的，即“基数相同”。



接下来，康托尔将证明的是自然数和有理数也是一一对应的！

什么是有理数？有理数是整数和分数的统称。乍一看，有理数比自然数多得多，0 和 1 之间的分数就有 1/2，1/3，1/4，1/5，… 无穷多个啊！

康托尔是用一种很巧妙的方法来证明的，见下图，第一行，0，1，-1，2，-2，3，-3，4，-4，5，-5，…

然后，在第二行写下所有分母为 2 的分数，这时，其实你已经看出来了，他是省去了那些在第一行 2 中已经出现过的有理数（如 2/2，-2/2，4/2，-4/2，… 因为它们分别等于 1，-1，2，-2,…）。



如果康托尔无聊，以这种方式永远写下去，估计写到 2100 年都结束不了。

但是，康托尔说，他可以知道每个有理数必然会出现在这个排列的某个固定的地方。例如：209/67 会出现在第 67 行，411 列的位置上。

虽然有点繁琐，但从理论上而言确实可以用这种方式陈列出所有的有理数。

接下来，为了将有理数和整数、自然数一一对应起来，康托尔得想办法将这张看起来是二维的无穷排列图，构造成一个一维的无穷排列。

可能，康托尔是这样考虑的，如果从第一行开始往右数，他将永远到达不了第二行，因为第一行是无穷的（当然，每一行都是无穷的），于是，康托尔选择了一个曲折的锯齿形的前进路线。


康托尔的锯齿路线图

其实就是这样的，



康托尔将有理数原来的二维列表变成了一个一维的列表。

这样，康托尔实际上用这种方法证明了有理数的个数与自然数、整数、自然数的平方数的个数是一一对应的，即它们全都“基数相同”，康托尔将这类集合称为可数无穷集。


有理数与自然数的一一对应

而无穷大基数是他使用希伯来字母的第一个字母：阿列夫—— ，来表示。

康托尔把跟自然数集合基数相同的这类无穷大称为阿列夫零—— 0 。

现在，康托尔实际上证明了：

Card（N）= Card（Z）= Card（2Z）= Card（Q）= 0

康托尔继续想，有没有比 0 更大的无穷大呢？

在有理数之外，还有一些数不能表示成分数的形式，如，我们之前谈的超越数自然常数 e 以及 π 这些无理数等。

在数轴上，这些无理数“填充”了整数和分数之间的“空隙”，从而为我们呈现出完整的实数集合。



集合是否也可以排列成一个一维列表呢？如果可以，那就可以说，实数集也属于 0 一类的无穷。

通过一个独特的方法，康托尔证明了连试图将 0 到 1 之间的实数排列成一维列表都不可行。康托尔在证明的过程中利用了对角线上的数字，所以他的证明方法也叫“对角线证明”法，下面我来解释下这个方法：



关于这个证明比较复杂，篇幅原因这里不详细谈论。

那么问题在于，这么奇怪的反人类直觉，数学大师怎么看呢？

其实，在当时，康托尔所提出的“无穷”，是一个超乎常人能力所能认识的世界，很多数学家认为“无穷”这东西是否存在都难以肯定，而康托尔保持自我向世人宣导自己的发现。

这就像过不了几年出现的量子纠缠一样让人难以琢磨！

法国数学界权威庞加莱（J.H.Poincaré）则认为康托尔的无穷理论是一种病态的东西，他说：“我们的下一代将把康托尔的集合论当作一种疾病。”

好，今天就先这样，下一讲我们谈谈康托尔的生平与他的数学理论。

祝幸福～

参考文献：

[1].《数学大师》

[2].《离散的世界》

科学羊  2024/01/16