如果没有这个基础数学理论，广义相对论将会完全失效！

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如果没有这个基础数学理论，广义相对论将会完全失效！

原创 Masir123 科学羊 2024-01-13 08:03 发表于广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 10 篇。

我们知道，黎曼几何是广义相对论最重要的数学基础，今天我们看看黎曼几何的学问。



01 爱因斯坦是怎么得知黎曼几何的？

爱因斯坦，这位物理学界的巨人，以其对物理的深刻洞察著称，但他在数学上的探索同样离不开几位犹太数学家的巨大帮助。

其中一个就是赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909），一个曾经对年轻时的爱因斯坦并不看好的老师。

赫尔曼·闵可夫斯基，一个在俄罗斯出生的德国数学家，曾是爱因斯坦在苏黎世求学时的导师。

起初，他对这个看似不修边幅、上课不认真的学生并不抱希望，甚至直言爱因斯坦不适合从事物理学。

然而，当爱因斯坦展现出他在狭义相对论方面的天赋后，闵可夫斯基成为了这一理论的热心支持者。

他在 1907 年提出的四维时空理论，为相对论提供了关键的数学基础。



从三维投影看，一个在四维空间中绕一个平面旋转的四维超正方体。

可惜，这位数学大师在相对论的黄金时代初期，因急性阑尾炎去世，享年仅 45 岁。他的早逝，让人深感惋惜。

爱因斯坦的另一位数学导师是马塞尔·格罗斯曼（Grossmann Marcell，1878—1936），一位瑞士数学家，也是爱因斯坦的好朋友。

有人甚至认为，如果没有格罗斯曼，就不会有伟大的爱因斯坦。

格罗斯曼在学校里是个模范生，他的认真听课和详尽笔记，为爱因斯坦的学术生涯提供了宝贵的帮助。爱因斯坦大学毕业后，靠格罗斯曼父亲的引荐，得以在瑞士专利局找到一份工作。

后来，当爱因斯坦在寻找适合表达他的物理理念的数学工具时，是格罗斯曼向他介绍了黎曼几何，从而帮助爱因斯坦克服重重难关，成功建立他引以为傲的物理理论——广义相对论。


阿尔伯特·爱因斯坦 1919 年在柏林办公室

爱因斯坦对数学的看法也很有趣。尽管曾被数学老师贴上“懒狗”的标签，甚至有谣言说他数学不及格，但实际上，他在 16 岁前就已经掌握了欧氏几何和微积分。

对年轻的爱因斯坦而言，数学不过是表达他对物理的见解的一种工具。他在一次演讲中用一个比喻来描述数学和物理的关系，认为没有几何的物理，就像没有语言的文学一样。

在他看来，时间和空间的独特理解，以及时空弯曲的几何观点，都是他深深着迷的领域。

对爱因斯坦来说，找到合适的语言来阐述他的物理概念，是他的迫切需求。这种语言最终在黎曼几何中找到了答案。

而在爱因斯坦的数学之旅中，还有一位关键人物——意大利数学家列维-齐维塔。

列维-齐维塔和他的导师里奇-库尔巴斯托罗共同发展了张量分析和张量微积分，这为爱因斯坦的理论提供了重要的数学工具。

爱因斯坦与列维-齐维塔的关系密切，以至于爱因斯坦曾风趣地说，他最喜欢的意大利事物是意大利面条和列维-齐维塔。

总而言之，爱因斯坦虽然本人不是数学家，但在数学领域，他得到了这些“贵人”的大力协助。

闵可夫斯基的四维时空理论、列维-齐维塔的张量代数和微积分，以及格罗斯曼的黎曼几何，都是构建广义相对论的关键数学基石。

02 黎曼几何 - 广义相对论的基础



和高斯一样，黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）也是德国数学家，同样出生在贫困的普通家庭。

黎曼比高斯刚好小 50 岁，于 1826 年生于德国的一个小村庄。

黎曼 19 岁进入哥廷根大学读书时，高斯已经年近 70 岁，是鼎鼎有名的大学教授。

在听了高斯的几次数学讲座之后，黎曼下决心改修数学，成为了高斯晚年的学生。

博士毕业后，黎曼为了申请哥廷根大学的一个教职，作了一个题为《论作为几何基础的假设》的就职演说，并由此创立了黎曼几何。

如前所述，高斯对曲面定义了内在的高斯曲率，等于曲面上某一点的两个主曲率之乘积。

当然，我们之前谈过是罗巴切夫斯基建立的非欧几何，则是从改变欧氏几何的第 5 公设而得到的。

在他的就职演说中，黎曼将二维曲面中的球面几何、双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）和欧氏几何，以及这三种几何与高斯曲率K的关系，统一在下述表达式中：坐标系 x 中的弧长微分表达式，式中的 K 为高斯曲率：



K 为高斯曲率，当 K=+1 ，所描述的是三角形内角和 E 大于 180° 的球面几何；当 K=-1 ，所描述的是内角和 E 小于 180° 的双曲几何；当 K=0 ，则对应于通常的欧几里得几何。将 3 种几何在微分几何的框架中统一在一起如下图所示：



当然，曲面上的弧长是最基本内蕴几何量，根据弧长微分的表达式可以定义空间的度规，从而计算出其他的几何量。

在二维空间中，度规是一个 2×2 的矩阵，或者使用黎曼几何的语言来说，是一个 2 阶张量。

黎曼认真研究了曲面上的度规，即在曲面上如何表示一小段弧长。然后，根据弧长微分表达式的不同，得出了不同的曲面内在几何性质。

关于这部分张量和度规这部分概念和算法由于篇幅原因，我们放在后期专门再谈！

大家这里要注意一个问题，黎曼几何和罗氏几何由于得出的很多结论都不符合欧氏几何，因此它们被统称为非欧几何。

关于广义相对论的详细内容，我们已经在物理学篇深刻讨论过了，大家翻阅查看，或者底部推荐阅读直达。

03 黎曼的生平


黎曼

在探索数学的奥秘和人生的复杂性中，格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼的故事显得尤为动人。

他的一生，虽然短暂，却如同用金子装订的珍贵诗篇，每一页都闪耀着对数学世界的革新之光。

正如诗人柯尔律治的作品，黎曼虽然只留下了有限的数学成就，但这些成就足以让后世称赞，仿佛他的每一个理论都是用金子铸就。

黎曼出生于 1826 年 9 月 17 日，是一位路德派牧师的家庭中的第二个孩子。他的童年在德国汉诺威的小村庄布列斯伦茨度过，家境贫寒但充满爱。

尽管家庭环境并不富裕，黎曼的父母始终给予他们的孩子无限的关爱和支持。黎曼一生中的幸福时光，大多是在和家人共处的温暖氛围中度过，仅此而已！

黎曼的性格中有着矛盾的一面：

一方面，他天生胆怯，不善于公开表达；

另一方面，他在数学领域却展现出了惊人的胆识和创造力；

他的独创性和对数学的深刻理解，使他成为了现代数学界最具影响力的人物之一。

可惜的是，他的身体一直虚弱，这限制了他的生命长短和事业的发展。

更致命的是，黎曼其实很穷，很穷，最后几年生活贫困，买纸和笔的钱都没有。

黎曼的数学之旅从他的童年开始。他对历史和算术表现出了浓厚的兴趣，特别是对波兰历史的悲剧色彩着迷。

他很早就展现出对数学的天赋，自幼便能解决复杂的数学问题，并在此基础上创造更有挑战性的题目。

在他 14 岁时，由于祖母的去世，他转学到吕讷堡的中学，并在那里继续他对数学的深入研究。

在中学时期，黎曼的数学才华引起了校长的注意，他被允许随意使用图书馆，并得到了自由探索数学世界的机会。

他的数学旅程在此发生了转折，他开始意识到自己在数学领域的非凡才能。

这位 19 世纪的数学奇才，不仅仅以惊人的速度掌握了勒让德的伟大著作，他还深入学习了欧拉的作品，从而精通了微积分及其分支。

令人称奇的是，黎曼能够从分析学的古老起点——一个在高斯、阿贝尔和柯西的工作中已显得过时的领域——跃升为一位敏锐的分析学家。

他从欧拉那里吸取的不仅仅是数学技巧，更重要的是，他领悟到了创造性数学工作中对于对称、公式和处理技巧的重视。

黎曼的数学灵感大多源自于他深刻的哲学思考，这些思考使他能够深入理论的核心。

他的工作虽然不完全是纯技巧，但他确实继承了欧拉在这方面的精髓。

在追求数学之美的同时，黎曼也避免了过于简化普遍性的陷阱，这使他的理论既具有深度又有广泛的应用性。

1846 年，19 岁的黎曼成为格丁根大学的一名学生，最初学习哲学和神学，希望能尽快找到一份工作来支持家庭。

但是，他对数学的热爱使他不可能远离这个领域。他向父亲坦诚自己的兴趣，并获得了改学数学的许可。这一决定使他非常高兴和感激。

在格丁根大学学习一年后，黎曼转到柏林大学，接受了雅可比、狄利克雷、施泰纳和艾森斯坦等大师的教导，开始了新的、充满活力的数学探索。

在这些大师的指导下，他学习了高等力学、高等代数、数论和分析，以及现代几何学。尤其是和艾森斯坦的交流，激发了黎曼对纯数学的一些最伟大贡献的思考。

黎曼的单复变量函数理论，是他在数学和科学史上的重要贡献。他的定义和对单复变解析函数的研究，为现代数学奠定了基础。

他的这些研究和想法，尤其是在 1847 年，显示了他对于数学中的基本定义和原理的深刻理解。

黎曼在柏林大学度过了两年，期间他参与了 1848 年的社会动荡，并在格丁根大学完成了他的数学训练。作为一个纯粹数学家，他的兴趣非常广泛，他在物理科学上的投入与数学一样多。

如果黎曼能多活几十年，他可能会成为 19 世纪的牛顿或爱因斯坦。

他的物理学思想在当时极为前卫，直到爱因斯坦实现了黎曼的梦想，人们才意识到黎曼在物理学上的洞见。

黎曼的哲学和心理学的未完成手稿表明，他在哲学思考方面与数学和科学一样具有创造性。他对物理学中的重要概念有着敏锐的洞察力，这种洞察力来自于他在实验室中的工作和与物理学家的交流。

总的来说，黎曼的一生是对数学和科学的深入探索，他的工作不仅在数学上留下了深刻的印记，也对后来的物理学产生了深远的影响。

他的生涯是对于纯粹追求知识和探索未知世界的热爱的完美体现。

好，今天就先这样啦～

关于黎曼的故事还没结束，

祝幸福～

参考文献：

[1]. 《数学大师》

[2]. 《相对论的故事》

科学羊 2024/01/13