王元院士与导弹设计｜《均匀设计》的序

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王元院士与导弹设计｜《均匀设计》的序

作者：王元 中国科学院数学与系统科学研究院 2024-01-04 14:15 发表于北京

本文为王元院士为《均匀试验设计的理论和应用》（方开泰等著. 北京：科学出版社，2019.10）一书所作“序”，标题为编者所加。

在科学试验与工农业生产中, 经常要做试验。如何安排试验, 使试验次数尽量少, 而又能达到好的试验效果呢？这是经常会遇到的问题。解决这个问题有一门专门的学问, 叫做试验设计。试验设计得好, 会事半功倍, 反之就有可能事倍功半了。

20 世纪60 年代, 华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”, 即国外的斐波那契方法, 与我国的数理统计学者在工业部门中普及的“正交设计法”是两种常用的试验设计方法。这些方法经普及后, 已被广大技术人员与科学工作者掌握, 并取得了一系列成就, 产生了巨大的社会效益和经济效益。随着科学技术的深入发展, 上述两种方法就显得不够了。“优选法”是单变量情形下的最佳方法, 其假定我们处理的实际问题中只有一个因子起作用。然而, 在解决实际问题时, 这种情形几乎是没有的。所以在使用时, 只能抓“主要矛盾”, 即突出一个因子, 而将其他因子固定, 这样来安排试验。因此“优选法”还不是一个很精确的近似方法。“正交设计”的基础是拉丁方理论与群论, 可以用来安排多因子的试验, 而且试验次数对各因子的各水平的所有组合数来说是大大地减少了, 但对于某些工业试验与昂贵的科学试验来说, 仍然因为试验次数太多而无法安排。



1978 年, 中国七机部由于导弹设计的要求, 提出了一个五因子的试验, 希望每个因子的水平数要多于 18 个, 而试验总数又不超过 50 , 显然优选法和正交设计都不能用, 方开泰教授在 20 世纪 70 年代中期, 曾为近似计算一个多重积分问题找过我, 我向他介绍了多重数值积分的方法并取得了好结果, 这就使他想到是否可以将数论方法用于试验设计的问题, 于是我们经过几个月的共同研究, 提出了一种新的试验设计, 即均匀设计, 将这一方法成功地用于导弹设计。我们的文章在 80 年代初发表后, 40 年来, 均匀设计已在我国得到较广泛的普及与使用, 取得了一系列可喜的成绩。

均匀设计属于近 60 年来发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范畴。将经典的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时, 计算量往往跟变量个数有关。即使计算机运算能力进步迅速, 这种方法仍无法实际应用。乌拉姆（S. Ulam）与冯·诺依曼（J. Von Neumann）在 20 世纪 40 年代提出蒙特卡罗方法, 即统计模拟方法, 该方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样答案的概率问题, 然后用统计模拟的方法来处理后者, 这样使一些困难的分析问题得以解决, 例如, 多重定积分的近似计算等。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用, 所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。

20 世纪 50 年代末, 有些数学家试图用确定性方法寻找空间中均匀散布的点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数, 已经找到的点集都是用数论方法找到的. 按照外尔（H. Weyl）定义的测度来度量, 它们的均匀性很好, 但独立性差些, 用这些点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数, 往往会得到更精确的结果。这一方法称为伪蒙特卡罗方法或数论方法, 数学家将这一方法成功地用于多重积分的近似计算。

从统计学的观点看, 伪随机数就是一个在立方体内均匀分布的样本。数值积分需要大样本, 均匀设计则要找小样本。由于这个样本比正交设计所对应的样本要均匀, 所以用它来安排试验会得到好的效果。当然在寻求小样本时, 寻求大样本的方法是起了借鉴作用的。

均匀设计只是数论方法的一个应用, 数论方法还有广泛应用的园地。例如, 多重插值公式的建立、某些积分与微分方程组的近似求解、求函数全局极值、求某些多元分布的近似代表点及用于统计推断的一些问题, 如多元正态性检验及多元球性检验等。

早在 50 年代末, 外国刚开始研究伪蒙特卡罗方法时, 华罗庚教授就倡议并领导了这一方法在我国的研究, 他的开拓性成果总结在我们的专著《数论在近似分析中的应用》（科学出版社, 1978 年；英文版：Springer-Verlag and Science Press, 1981 年）中, 这些工作是方开泰教授与我合作工作的重要背景与参考材料之一。

我与方开泰教授合作了近 40 年, 由于他既是一位数学家, 也是一位统计学家, 又有长期在中国各工业部门普及应用数理统计的宝贵经验, 所以他有很好的应用数学背景与洞察力。他能及时地提出有价值的研究问题及解决问题的可能途径, 我们的合作既是愉快的, 又是富于成效的, 我们的成果总结在专著 Number-Theoretic Methods in Statistics（Chapman and Hall, 1994）之中。

方开泰教授和他的合著者的这本《均匀试验设计的理论和应用》（方开泰等著. 北京：科学出版社，2019.10）着重于均匀设计的理论和应用, 也包括了他们近 20 年来的最新研究成果。我相信该书的出版对于进一步推动均匀设计的研究将是很重要的, 我愿借此机会预祝该书成功。

王 元

中国科学院院士

2019 年 1 月

来源：和乐数学