数学王子：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后”

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数学王子：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后”

数学是科学的皇后，数论是数学的皇后——高斯

原创 Masir123 科学羊 2023-12-26 07:24 发表于广东

大家好，我是科学羊。

今天继续数学专栏第 23 篇。

在数学史上，阿基米德、牛顿和高斯被视为独树一帜的巨匠，他们的贡献难以按功绩排序。

这三位大师都在纯数学与应用数学领域掀起了革命性的浪潮。

阿基米德更看重纯数学之美，而牛顿将数学应用于科学，为此找到了充分的理由。高斯则视纯数学与应用数学为一体，但他仍旧将高等算术——当时看似最无实用价值的数学领域——奉为数学之王后。

没错，今天我们来谈谈伟大的数学王子——高斯。

01 一个耳熟能详故事

相信每个人都听过这样一个故事吧，

有一次，老师提出了一个著名的难题，1+2+3 一直加到 100 等于几？

很快，高斯算出了正确答案“5050”。老师大吃一惊，他没想到一个 7 岁的孩子能在一分钟之内写出这么难的题，因为他自己把这道题算了三遍才算对的。

高斯是这样解决的：高斯把这 100 个数从两头往中间，一边取一个，配起对来，1 和 100 ，2 和 99 ，3 和 98 ，…，共配成 50 对，每一对两个数相加都等于 101 ，因而原式 ＝ 101×50 ＝ 5050 。

当然，这个故事听说是假的，不过我相信这也是我们第一次听这个聪明的人物，总之，高斯的成就是不可否认的！

好，接下来我们看看高斯的真实人物～

02  高斯的生平


约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777 年 4 月 30 日 — 1855 年 2 月 23 日）

讲述高斯的传奇故事，我们不能不提他的出身和家庭。

1777 年 4 月 30 日，他在德国不伦瑞克的一个贫穷村落出生。

他的祖父是个园丁，家境贫寒，高斯的父亲格哈德·迪德里希也只是个普通的工人，一直过着平凡的生活。

尽管如此，格哈德的正直和坚韧，以及对儿子严格甚至粗暴的教育方式，为高斯日后的成就奠定了基础。

高斯的父亲虽然言语粗俗、举止笨拙，但诚实与努力使他稍微能过得舒适。

他甚至曾极力阻挠高斯接受适合其天赋的教育，但幸运的偶然事件使高斯得以逃脱园丁或砌砖工人的命运。

虽然高斯对其父亲的回忆并不温暖，但也表达了对他的理解。

在母亲多罗特娅·本茨方面，高斯的童年则更为幸运。

多罗特娅的父亲（高斯的外公）是石匠，早逝留下她和弟弟弗里德里希（关键人物）。弗里德里希成了纺织工人，尽管条件艰苦，却展现出了非凡的智慧与才华，他的聪明与创造力在纺织领域得以展现，并对年轻的高斯产生了深远的影响。

弗里德里希的智慧和对生活的独特看法激发了高斯的逻辑思维能力。

高斯的母亲是一个坚强、聪明、幽默且坦率的女性。

她一直是高斯的骄傲和支持者，无论是在高斯幼年还是少年时期，她都不遗余力地支持他的教育，阻挠了丈夫的反对意见。

多罗特娅对高斯的才华充满信心，她的支持和鼓励为高斯的成功铺平了道路。

高斯在数学界确实是一位革命者。他的教育之旅充满了不满和批判，这种态度最初体现在他对二项式定理的不满，随后又延伸到对欧几里得几何的基础提出质疑。


二项式定理 参考图

年仅 12 岁的高斯就开始怀疑欧几里得几何的原则，并在 16 岁时首次揭示了与欧几里得几何不同的几何体系。

一年后，他开始对数论中的证明提出挑战，并致力于填补那些未完成或缺失的部分，这是一项极其艰巨的任务。

高斯对证明的本质有着深刻的洞察力，结合了他无与伦比的数学创造能力，使他在数学界成为了一股不可阻挡的力量。

巴特尔斯，高斯的导师，不仅引领他进入了代数的世界，还帮助他引起了当地影响力人士的关注，包括不伦瑞克的公爵卡尔·威廉·斐迪南。

1791 年，14 岁的高斯首次见到公爵，他的朴实和羞怯给慷慨的公爵留下了深刻的印象。高斯在离开时得到了继续受教育的承诺。第二年，他被送入不伦瑞克的卡罗林学院，公爵负担了他的学费，直到他完成学业。

在进入卡罗林学院之前，高斯已通过自学和年长朋友的帮助，在古典语言方面取得了巨大进步。

尽管他的父亲认为学习古典语言是不切实际的，但他的母亲多罗特娅为儿子的教育坚持到底，并最终获得了胜利。公爵为高斯提供了在大学预科的两年学习津贴。

高斯在预科学校迅速精通古典语言，让教师和同学们都感到惊奇。

高斯虽然对哲学产生了强烈兴趣，但很快他发现数学领域更加迷人，这对科学界来说是一件幸事。他掌握了拉丁语，并用它写下了许多伟大的著作。

遗憾的是，欧洲民族主义的兴起影响了甚至像高斯这样的大师，使得科学家们不得不掌握多种语言。高斯尽量抵抗这一趋势，但最终还是在德国天文学界的压力下开始用德语撰写他的天文学著作。

在卡罗林学院的三年学习中，高斯掌握了欧拉、拉格朗日的重要著作，尤其是牛顿的《原理》。


高斯年轻时的著作《算术研究》的扉页

一个伟大人物所能得到的最高赞扬，是来自另一位伟大人物的赞扬。高斯

作为一个 17 岁的少年，从未低估过牛顿的功绩。

他在拉丁文著作中对欧拉、拉普拉斯、拉格朗日、勒让德的赞扬是“辉煌的”，而对牛顿则是“最高的”。

高斯在卡罗林学院时就开始了他对高等算术的研究，这些研究后来使他名垂青史。他的非凡计算能力在此时发挥了作用。

高斯通过直接研究数字、进行实验和归纳法，发现了一些深奥的定理，甚至他自己也要花费巨大努力才能证明。

他重新发现了被称为“黄金定理”的二次互反律，并成为第一个证明它的人。尽管勒让德曾试图证明它，但他忽略了一个难点。

这样，高斯的数学生涯充满了创新、挑战和成就。他对数学的热爱和对挑战的勇气，使他成为历史上最伟大的数学家之一，他的工作不仅在当时，而且在后世都产生了深远的影响。

02  伟大的功绩

他通过数论方法对正多边形的欧几里得作图理论（只用圆规和没有刻度的直尺）做出了惊人的贡献。

1801 年，年仅 24 岁的高斯出版了《算术研究》，开创了现代数论的新纪元。书中出现了有关正多边形的作图方法、方便的同余记号，以及优美的二次互反律的首次证明等。

他主要成就：证明代数基本定理、高斯求和公式：(首项+末项)×项数/2 、二次互反律、素数定理、算术-几何平均数、《天体运动论》、《正十七边形尺规作图之理论与方法》



在几何方面，高斯创造了“非欧几何”这一术语，并将其推向了几何学的革命性转变。

他的这一发现打破了长久以来数学家们的一个错误观念，即认为欧几里得公理是保证几何学一致性和无矛盾的唯一方法。



非欧几何的研究为后来的科学发展，特别是爱因斯坦的广义相对论奠定了基础。

广义相对论描述宇宙为非欧几里得空间，这一理论的建立在很大程度上得益于非欧几何的先驱工作。

还有一个重要贡献是他对正多边形的尺规作图的研究。他指出正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形及其边数是这些数的两倍的正多边形可以使用圆规和直尺进行几何作图。

高斯基于数论提出了一个判断给定边数的正多边形是否可以通过几何作图构造的准则。

这一准则的一个显著例子是，用圆规和直尺可以作出圆内接的正十七边形，这在欧几里得以后是首个这样的发现。


高斯的手稿

高斯在 1808 年 9 月 2 日写给法卡斯·博莱伊的一封信中总结了他对追求知识的观点。

不是知识本身，而是学习的行为，不是拥有，而是去获得的行为，给予了我最大的乐趣。

当我阐明和详尽讨论一个主题后，我就转身离开它，只为再次踏入“黑暗”。永不满足的人是如此奇怪，如果他建成了一座大厦，那不是为了安详地居住在其中，而是为了开始建造另一个。

我想，世界的征服者一定有这样的感觉，在一个王国刚刚被他征服之后，他就会向其他国家伸出了双臂。

好，今天就先这样，我们先做简单了解，关于高斯数学的具体知识我们以后再谈!

祝幸福～

参考文献：

[1]. 《数学大师》

[2]. 图片来自 wiki

科学羊 2023/12/26