天才数学家高斯的困扰

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天才数学家高斯的困扰



本文来源：图灵新知

当事情变得过于复杂时，有必要停下来想一想：“我提出的问题正确吗？”

在 19 世纪，天文学家缺少基本的数学工具，无法从前几周观测到的轨迹数据来计算其完整的运行轨迹。他们似乎弄丢了这颗行星，无法预测它下次会出现在何处。

然而，在皮亚齐发现的行星消失了一年之后，一位来自德国布伦瑞克的 24 岁年轻人宣称，他有办法让天文学家重新找到那颗消失的行星。天文学家别无他法，只得将天文望远镜对准这位年轻人所指的夜空中的那个区域。简直不可思议，它果真在那儿！这种史无前例的天文预测，简直就像占星家的魔法一样神秘莫测。其他人只能观测到一颗神出鬼没的小行星，一旦消失就难觅其踪；一位数学家却计算出了谷神星的运行轨道。这位奇才就是卡尔·弗里德里希·高斯。他利用极少的行星轨迹观测数据，并结合一种他最新研究出的方法，来估算谷神星未来某天会在何处出现。

发现谷神星的轨迹，使高斯在科学界一夜成名。在 19 世纪早期，随着科学的迅猛发展，数学日益展现出强大的预测能力。高斯所取得的成就充分印证了这一点。天文学家偶然发现一颗行星，却要靠数学家运用分析能力，来预测未来将要发生什么。

尽管在天文学界高斯还是个陌生的名字，但他在数学界已是一名新秀。他成功地预测了谷神星的运行轨迹。但是最让他魂牵梦萦的还是发现数字世界的运行规律。对高斯而言，宇宙中的数字带来了无尽的挑战：要从其他人眼中的混沌中找到数字存在的结构性和规律性。“神童”和“数学天才”的头衔传来传去，却极少有数学家能与高斯比肩。25 岁之前，他的新想法以及新发现的数量之多，超乎人们的想象。

1777 年，高斯出生于德国布伦瑞克的一个农民家庭。3 岁时，他就能纠正父亲算术中的错误了。19 岁那年，他发现了使用尺规绘制一个规整的正十七边形的方法。这件事注定他将把一生献给数学。在高斯之前，希腊人也曾展示过如何用尺规作图绘制正五边形，但从来没有人能够做到用简单的工具来绘制其他边数为素数的正多边形。发现绘制正十七边形的方法后，高斯难掩兴奋之情。这也促使他开始做数学笔记，在接下来的 18 年里，他一直保持这个习惯。这份笔记由他的家人保管至 1898 年。它成为了数学发展史中最重要的文件之一，不仅仅是因为里面有许多高斯已经证明但没有发布的结果，更重要的是，其中有些想法，其他数学家直到下个世纪才重新证明出来。

幸运的是，高斯这个穷人家的孩子，并没有因为家庭条件不好而埋没他的数学天赋。在他出生的那个时代，数学研究大多需要贵族阶层提供资助，或者像费马那样利用业余时间从事。高斯的赞助人是布伦瑞克公爵，卡尔·威廉·斐迪南。斐迪南的家族一直以来都支持自己爵位领地的文化和经济发展。事实上，他的父亲创立了卡罗琳学院（今布伦瑞克工业大学的前身），德国最早的理工大学之一。他的父亲坚信，教育是布伦瑞克商业繁荣的基础。斐迪南继承了父亲的这一理念，他一直在苦苦寻找值得资助的那个天才。1791 年，费迪南第一次见到高斯，就对他的才华留下了深刻的印象，决定资助他在卡罗琳学院完成学业，以开发他真正的潜能。

1801 年，高斯的第一本书问世，以示对公爵的敬谢。此书名为《算术研究》，汇集了高斯发现的许多算术知识，这些之前都记录在他的日记中。学术界普遍认为，该书标志着数论作为一门学科而存在，而不仅仅是一本有关数字理论发现的合集。此书的出版使数论这门学科加冕为“数学王国的女王”（高斯喜欢的称呼）。对高斯而言，素数是数学王冠上的宝石，一代又一代的数学家为之神往而又为其所伤。

人类探索素数最早的证据可能是来自公元前 6500 年的一块骨头。这块骨头叫作伊尚戈骨（Ishango bone），是于 1960 年在靠近赤道的非洲中部山区发现的。骨头上刻着 3 排线纹，包含 4 组刻痕。在其中一排上，我们发现了 11、13、17、19 条刻痕，这是 10～20 的素数。其他的刻痕似乎是自然数。这块陈列在比利时皇家国家科学院的骨头，究竟是我们的祖先对理解素数特性的初步尝试，还是随机选取了一些碰巧是素数的数字，我们尚不得而知。然而，这块古老的骨头，或许见证了人类对素数理论的初步探究，这使它越发引人遐想。

一些人认为，古代中国文明是最早辨识出素数特征的文明体系之一。古代中国人将偶数赋予女性气质，而将奇数赋予男性气质。除了这种直接的划分之外，他们还将那些非素数的奇数——比如 15 ——看作具有女性气质的数字。有证据显示，在公元前 1000 年之前，他们就已经总结出了一套相当实用的方法，来理解素数有别于其他数字的独特之处。假设你有 15 个豆子，你可以排列出一个整齐的 3 行 5 列的矩形。不过，当你有 17 个豆子时，你就只能排列出一个 1 行 17 列的矩形。对中国人来说，素数是具有阳刚之气的数字，它们坚决不肯被分解成两个更小数字的乘积。

古希腊人同样给数字赋予性别气质。他们还在公元前 4 世纪就率先发现，素数是构成所有数字的基础。每个数字都可以写成几个素数的乘积。尽管他们错误地将火、空气、水和土壤看作构成万物的基本元素，但在识别算术的构成元素时，他们的见解是正确的。几个世纪以来，化学家们致力于确定构成万物的基本元素。古希腊人的直觉最终体现在德米特里·门捷列夫的元素周期表中，表中完整地罗列出了各种化学元素。古希腊人已在发现算术的基本构成元素上遥遥领先，而如今的数学家仍对如何构建素数表一筹莫展。

一名来自伟大的古希腊文明研究所（也就是亚历山大图书馆）的图书管理员，是已知的完成素数表的第一人。就像数学界的门捷列夫一样，埃拉托斯特尼在公元前 3 世纪发现了一种简便的方法，用于在数列中寻找素数，比如 1～1000 的整数。他先把 1～1000 的所有数字都写下来，之后找到第一个素数 2，再把数列中每两个数字的第 2 个数字划去，因为那些数字都能被 2 整除，所以不是素数。然后他在剩下的数字中找到第一个数字，也就是数字 3 。于是他把数列中每 3 个数字中的第 3 个数字划去。道理同上，它们都可以被 3 整除，当然也不是素数。只需要重复这一过程，选择列表中尚未划去的下一个数字，然后划去所有能被新素数整除的数字，就可以得到一张素数表。这种方法后来被称作埃拉托斯特尼筛法。每个新素数会产生一个“筛子”，埃拉托斯特尼用它来清除数列中的非素数。筛子的网孔在每个阶段都有变化，算到 1000之后，他就可以保证留下的数字都是素数。

高斯小时候收到了一份礼物——一本包含前几千个素数的书，这些素数可能是利用古老的筛法构造的。对高斯而言，这些数字的变化毫无规律可循。预测谷神星的椭圆轨迹已经颇有难度，而分析土卫七（土星的卫星之一，形状像汉堡包）这类星体的旋转轨迹几乎是不可能的任务。探索素数所带来的挑战类似后者。与地球的卫星月球相比，土卫七的引力远远没有那么稳定，旋转也无规律可言。尽管土卫七的旋转和一些小行星的运行轨道都毫无规律可循，但至少我们知道，这是由太阳和行星的引力决定的。但素数为何以这种方式排列，人们对此一无所知。高斯凝视着素数表，他发现其中毫无规律可循。难道数学家们要承认，素数是自然的鬼斧神工，如同夜空中星星的排布一样，既没有规律，也无从解释？对此，高斯是无法接受的。数学家生存的主要动力就是寻找规律，发现和解释自然之本质，并预测未来的发展。

科学元典 2023-12-28 20:08 发表于安徽