为啥 cos 迭代有不动点，sin 则没有？

Ysu2008

数值迭代 \(x_{n+1}=f\left( x_n\right)\)；
如果某一步使得 \(\left| x_{n+1}-x_n\right|<10^{-16}\)成立，就认为迭代收敛到不动点；
如果迭代超过10万步仍未收敛，就认为迭代发散。

迭代\(x_{n+1}=\cos\left( x_n\right)\):
初始值:0.5  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:92
初始值:2.5  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:90
初始值:-10.0  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:92
初始值:10.0  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:92

迭代\(x_{n+1}=\sin\left( x_n\right)\):
初始值:0.5  发散。
初始值:2.5  发散。
初始值:-10.0  发散。
初始值:10.0  发散


迭代 \(x_{n+1}=f\left( x_n\right)\)相当于解方程 \(f\left( x\right)-x=0\);
\(\sin\left( x\right)-x=0\)有根，\(x=0\)，如果用牛顿迭代求解:
初始值:0.5  不动点:1.9811533808897018E-8  迭代次数:43
初始值:1.5  不动点:1.519625321619958E-8  迭代次数:46
初始值:2.5  不动点:1.6928442563286975E-8  迭代次数:47
初始值:3.5  不动点:1.7278366709299363E-8  迭代次数:47
初始值:-10.0  发散。
初始值:10.0  发散。
虽能收敛，但不稳定，解的质量也不好。

用牛顿迭代求解\(\cos\left( x\right)-x=0\):
初始值:0.5  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:5
初始值:1.5  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:6
初始值:2.5  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:6
初始值:3.5  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:962
初始值:-10.0  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:216
初始值:10.0  不动点:0.7390851332151607  迭代次数:96
稳定，迭代步数与初始值有关，且差异大。

定义：将方程\(F\left( x\right)=f\left( x\right)-x=0\)中未知量\(x\)移到另一侧，直接代入初始值迭代求根，叫直接迭代。

问题：sin 与 cos 的定义域、值域、函数图像的形状都一样，是什么性质导致二者直接迭代存在差异的呢？

直接迭代法还有一个怪异表现。
解方程 \(x^3-31x-16=0\)
用牛顿迭代法可依次求得该方程三个实根:
初始值:1.0  不动点:-0.5206826613618141  迭代次数:6
初始值:-1.0  不动点:-0.5206826613618141  迭代次数:5
初始值:5.0  不动点:5.809815826037911  迭代次数:6
初始值:-5.0  不动点:-5.289133164676098  迭代次数:6
初始值:6.0  不动点:5.809815826037911  迭代次数:5
初始值:-6.0  不动点:-5.289133164676098  迭代次数:7

\(x_1=-5.289133164676098\)
\(x_2=-0.5206826613618141\)
\(x_3=5.809815826037911\)

牛顿迭代会自动收敛到初始值附近的实根。

用直接迭代法求解:
化为 \(x=\frac{x^3}{31}-\frac{16}{31}\)，代入相同初始值迭代:
初始值:1.0  不动点:-0.5206826613618141  迭代次数:12
初始值:-1.0  不动点:-0.5206826613618141  迭代次数:12
初始值:5.0  不动点:-0.5206826613618141  迭代次数:14
初始值:-5.0  不动点:-0.5206826613618141  迭代次数:15
初始值:6.0  发散。
初始值:-6.0  发散。

直接迭代只能收敛到中间的实根\(x_2\)，且初始值只能选在区间\(\left( x_1{,}x_3\right)\)内，区间外的值都发散。