泛函分析的起源

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泛函分析的起源

来源：尚万只老虎

作者：尚大海



好的数学家看到类比，伟大的数学家看到类比之间的类比。

——泛函分析理论的主要奠基人之一、波兰数学家巴拿赫（Banach）

泛函分析（Functional Analysis）研究的主要对象是由函数构成的函数空间。泛函分析来自对函数空间和函数变换（如傅里叶变换）的性质的研究，它在微分方程和积分方程的研究中特别有用。“泛函”这个词的意思是作用于函数的函数，也就是说一个函数的自变量是函数。1910 年，法国数学家阿达玛（Hadamard）开始使用这个名词。


雅克·所罗门·阿达玛（Jacques Solomon Hadamard）1865 年 12 月 8 日 – 1963 年 10 月 17 日

在二十世纪的数学世界，阿达玛的名字可谓如雷贯耳。数论学者不会不知道他给出了素数定理的第一个证明；偏微分方程理论的行家都熟悉他提出的“适定问题”概念；玩耍行列式的高手不仅知道所谓的“阿达玛不等式”，而且说不定也会玩只由正 1 和负 1 组成的“阿达玛矩阵”；熟悉数学讨论班历史的研究生可能对阿达玛主持几十年的讨论班心向往之；对“数学家怎样研究数学”这类问题大感兴趣的人，可能读过他的专著《数学领域的发明心理学》；在引人入胜的量子计算中，有 Hadamard 门；Walsh-Hadamard 矩阵甚至被 IS-95 、WCDMA 、CDMA2000 等移动通信标准采纳，作为下行链路用户码使用。



执掌法兰西学院数学部的阿达玛，自幼各门功课表现出色——唯独数学一塌糊涂！七年级之后他遇上一位优秀的数学老师，渐露头角。法国崇尚精英体制，其高等教育的两张王牌是巴黎高等师范与巴黎综合理工学院。而阿达玛在这两所顶尖学府的入学考试中都名列前茅，最终选择了巴黎高师。

阿达玛对中国人民有着深厚的情意—— 1936 年他在国立清华大学数学系任教，同一时期，维纳在电机系任教。自清华起，阿达玛开始培养中国偏微分方程的先驱者吴新谋。他还和维纳分别将华罗庚介绍给了维诺格拉朵夫和哈代。当他快 90 岁时，还接受了华罗庚教授的正式邀请，将他一生中的最后一部著作《偏微分方程论》交给中国出版，此书在他逝世后一年由科学出版社隆重推出。



言归正传，19 世纪以后，数学进入了一个新的发展阶段。对欧几里得第五公设的研究引发了非欧几何这门新的学科，对代数方程求解的一般思考也产生了群论，对数学分析的研究进一步创立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化创造了条件。这让函数的概念具有了更为一般的意义。古典分析中函数的概念是指两个数集之间的一种对应关系，而现代数学的发展要求建立任意两个集合之间的某种对应关系。

随着分析学中许多新分支的形成，分析、代数、集合的许多概念和方法常常出现在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以利用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似性在积分方程论中表现得更为突出。泛函分析的产生和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的事物都存在类似的地方。因此，它启发人们在这些类似的地方探寻更一般化的真正属于本质的东西。这就是为什么巴拿赫说“好的数学家看到类比，伟大的数学家看到类比之间的类比”。

非欧几何拓展了人们对空间的认知，多维几何的产生允许我们用几何的语言把多变函数解释成多维空间的映像。这样就显示出了分析和几何之间的相似之处，同时存在将分析几何化的可能性。这种可能性要求进一步推广几何概念，以致最后把欧几里得空间扩充成无穷维数的空间。


弗雷德霍姆（Fredholm）1866 年 4 月 7 日 – 1927 年 8 月 17 日

20 世纪初，瑞典数学家、积分方程理论的创始人之一弗雷德霍姆（Fredholm）和阿达玛发表的著作中出现了将分析学一般化的萌芽。随后，德国数学家希尔伯特（Hilbert）开创了希尔伯特空间研究。希尔伯特空间（Hilbert Space）是有限维欧几里得空间的一个推广，它不局限于实数的情形和有限的维数，但又不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间。内积空间是线性代数里的基本概念，是增添了一个额外结构的向量空间。这个额外的结构叫作内积。内积将一对向量与一个标量连接起来，从而允许有距离和角的概念以及由此引申而来的正交性与垂直性的概念。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而使微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间。这成为了泛函分析的核心概念之一。

到了 20 世纪 20 年代，数学界已经形成了“一般分析”（General Analysis）的基本概念，开始研究无限维线性空间中的泛函和算子理论，从而产生了一门新的分析数学，叫作泛函分析。20 世纪 30 年代，泛函分析已经成为数学中的一门独立的学科了。


维多·沃尔泰拉（Vito Volterra）1860 年 5 月 3 日 – 1940 年 10 月 11 日

早在 1887 年，意大利数学家和物理学家沃尔泰拉（Volterra）就引进了泛函演算，特别是引进了原始泛函以及线性算子的概念。后来法国数学家发展了泛函演算，特别是在 1897 年第一次国际数学家大会上所做的报告中，阿达玛为了研究偏微分方程而考虑了闭区间 [0，1] 上全体连续函数所构成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空间，并于 1903 年定义了这个空间上的函数，即泛函。


莫里斯·弗雷歇（Maurice-Rene Fréchet）1878 年 9 月 2 日 – 1973 年 6 月 4 日

1906 年，阿达玛的学生、法国数学家弗雷歇（Fréchet）利用当时的集合论观念，力图将康托尔、沃尔泰拉、阿达玛等的具体结果以抽象的术语统一起来，在建立泛函的抽象理论中获得了第一个卓越的结果。弗雷歇的博士论文用抽象形式归纳统一了前人结果的共同点并加以推广：(1) 把函数或曲线看成一个集合或空间中的点。它们被看作一个抽象集合。(2) 函数的极限可看作空间中点列的极限。有极限概念的集合称为 L 空间，这是后来拓扑空间的萌芽。(3) 集合上可定义实函数即泛函。由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性。(4) 泛函可以进行代数和分析运算，这就成为名副其实的泛函分析了。弗雷歇 1906 年还在抽象的空间中引进“距离”的观念，使之具有欧氏空间距离的性质从而有了更丰富的结构。

自 1906 年起，美国数学家莫尔（R. L. Moore）开始了建立线性泛函分析和算子的抽象理论的研究工作。而第一个有影响的步骤是希尔伯特的学生、德国哥廷根学派的爱尔哈德·施密特（Erhard Schmidt）迈出的。他引入希尔伯特的几何观念，把函数看成是平方和序列的空间（抽象的 l^2 空间)的点，并导出正交系，建立了所谓希尔伯特空间。另外值得一提的是，线性代数中大家熟知的 Gram-Schmidt 正交化就是这位施密特。


弗里杰什·里斯（Frigyes Riesz）1880 年 1 月 22 日 – 1956 年 2 月 28 日

1907 年，匈牙利数学家里斯（Riesz）引进勒贝格平方可积空间（L^2 空间），发现 L^2 空间与 l^2 空间同构，只是同一种抽象希尔伯特空间的两种具体表现。这也反映出研究抽象空间具有重要的意义。它更清楚地表明积分理论和抽象空间的泛函之间的紧密联系。里斯 1910 年发表于《数学年刊》上的论文是泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好开端。他研究积分方程仿照 L^2 空间导出 L^p（1＜p＜∞）空间，也就是 p 次方可积函数全体构成的空间，他发现了 L^p 上连续线性泛函全体构成一个“对偶的”空间 L^k ，且 p+k=1 。这样，里斯开始了应用范数概念作为研究抽象空间的另一种方法。至此，泛函分析的基本要素己经齐备。

对泛函分析贡献最杰出的是波兰数学家巴拿赫（Banach），他进一步把希尔伯特空间推广成巴拿赫空间（Banach Space），用公理加以刻划，形成了系统的理论，其主要工作是引进线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理：哈恩-巴拿赫延拓定理，巴拿赫-斯坦豪斯定理（即共鸣定理）、闭图像定理。他在 1932 年出版的《线性算子论》统一了当时泛函分析众多成果，成为泛函分析第一本经典著作。


斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）1892 年 3 月 30 日 – 1945 年 8 月 31 日

巴拿赫所处的时代，波兰科学家还受到宗教殉道观念的束缚，即知识分子应当远离尘世的欢乐，但巴拿赫不愿做圣徒的候选人。他是一位现实主义者，甚至到了接近玩世不恭的程度。他强调自己祖先的山民血统，并对那些无所专长的所谓有教养的知识分子持蔑视态度，而把天才的火花和惊人的毅力与热情融为一体。巴拿赫培育了一大批青年数学家，为形成强大的利沃夫泛函分析学派奠定了基础。他培育青年的方式中有一种很特别，这就是“咖啡馆聚会”。巴拿赫一天生活中有相当多的时间消磨在咖啡馆，当有同事和年轻同行围坐时，他可以滔滔不绝地讲上几个钟头。咖啡桌跟大学研究所和数学会的会场一样，成了爆发数学思想火花的圣地。期间记录下的数学家提出的各种问题成了一部传奇式著作——苏格兰书。由于提问者当时或后来都很著名，使得这些记录具有重要的科学与历史价值，而且具有一种引起人们求知欲望的力量。


利沃夫市苏格兰咖啡馆旧址如今的光景

泛函分析源自研究各种函数空间，而在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函数空间具有不同的拓扑结构。而函数空间一般是无穷维线性空间，所以抽象的泛函分析研究的是带有一定拓扑结构的一般无穷维线性空间。

在具体的函数空间中，我们可以对函数进行各种各样的操作，以产生新的函数。例如在变分法的问题中，人们处理形如



的积分，这个积分可以看作是作用在一类函数 y(x) 上的运算，要在这类函数中找出一个使积分取最大值或最小值的函数。

微分方程领域提供了另一类算子，例如，微分算子



作用在一类函数 y(x) 上，把它们变换为另外的函数。自然，为了解微分方程，人们要寻找特殊的 y(x) ，使得 L 作用到这个 y(x) 上得到 0 ，并且这个函数也许还得满足初始条件或边界条件。

最后一个例子是积分方程。方程



的右边可以看作是作用在不同的 u(x) 上并引出新的函数来的一个算子。

所有这些算子都可以在一种对于函数作用的抽象形式下来研究，这些函数可以看作“函数空间”的元素或点，而算子就把点变成点，从而成为普通变换（例如旋转）的一种推广。泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且把这些概念和方法几何化了。这也是创立泛函分析的一个主要动机。

对拓扑线性空间中的算子的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域。更一般地，我们会遇到非线性的算子。最简单的例子就是各种函数空间上不同的能量泛函。非线性的算子在微分几何和微分方程理论中都扮演重要的角色，比如极小曲面就是能量泛函的极小点。

泛函分析是研究现代物理学的一个有力的工具。n 维空间可以用来描述具有 n 个自由度的力学系统的运动，实际上需要用新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如，梁的振动问题就是一个涉及无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学时，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论属于无穷自由度系统。泛函分析也强有力地推动了其他分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。今天，它的观点和方法已经渗入许多工程技术性的学科之中，成为近代分析学的基础之一。

【参考文献】

［1］[美]魏铼：《趣味数学简史》

［2］莫里斯·克莱因：《古今数学思想》

［3］徐传胜、周厚春：《数学史讲义概要》

［4］丁玖：阿达马的数学、讨论班及中国情

数学经纬网 2023-11-30 19:01 发表于北京