费马大定理与椭圆曲线的关系

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费马大定理与椭圆曲线的关系

原创 Asher 爱数学之家 2023-12-09 08：49 发表于广东

一、费马大定理

费马大定理（Fermat's Last Theorem）是一个著名的数学问题，最初由法国数学家皮埃尔·德·费马在 1637 年提出。这个定理声称，对于任何大于 2 的整数 n ，关于 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

费马在一封给数学家弗朗索瓦·维埃特的信中提到了这个问题，并声称自己有一个了不起的证明方法，然而他在信中没有给出具体的证明，只写下了“我确实有一个非常精妙的证明，但这个边缘太窄，这里无法容纳它。”这导致了这个问题被广泛传播并激起了其他数学家的兴趣。

几个世纪以来，许多数学家试图解决费马大定理，但一直未能找到全面的证明。直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在进行了多年的研究后，最终成功地证明了费马大定理。

怀尔斯的证明涉及到广泛的数论知识和高深的数学工具，包括椭圆曲线、模形式和 Galois 表示等。他利用了许多前人的研究成果，并创造性地将这些工具应用于费马方程。怀尔斯的证明非常复杂和深奥，需要大量的数学背景和专业知识才能理解。

二、关键里程碑

1955 年，日本科学家谷山和志村联合提出了谷山志村猜想：所有椭圆曲线和模形式是一一对应的。当时谁也没有想到这个猜想对于解决费马定理有巨大帮助。

1984 年，德国数学家弗赖用反证法证明了：如果谷山志村猜想是对的，那么费马定理就是对的。这成为证明费马定理的里程碑事件。

英国数学家怀尔斯顺着弗赖的思路，认为只要证明谷山志村猜想中关于费马定理那部分是对的，就可以证明费马定理是对的。于是他用了六年时间研究证明方法，并找到了同时数学家的卡茨，两人完成了所有证明过程，并在大学教堂公开了证明过程。之后，世界最高数学委员会派专家来检验，发现有一步出错了，结论不能成立。当时怀尔斯觉得人生都毁了。但他还是坚持用 1 年半的时间修补了这个错误，在 1995 年正式获得数学界的承认，费马最终定理终于解开了。他的证明过程直接推动了谷山志村猜想的证明，1999 年该猜想正式被全部证明。

三、椭圆曲线

椭圆曲线是一种特殊类型的曲线，其方程具有特定的形式。在代数几何和数论中，椭圆曲线起着重要的作用，并在密码学等领域也具有广泛的应用。

椭圆曲线的标准形式可以表示为一个三次方程：

       y^2 = x^3 + ax + b

其中 a 和 b 是实数或复数，且曲线上至少有一个点 (x, y) 满足方程。特别地，如果曲线上还有一个特殊的无穷远点（∞，∞），则称该曲线为封闭曲线。

椭圆曲线的性质和结构非常丰富。其中一些重要的性质包括群结构、切线与割线性质、离散对数问题等。这些性质使得椭圆曲线成为密码学中重要的工具，例如用于椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）算法。

在数论中，椭圆曲线也被广泛研究。通过利用椭圆曲线的整数解性质，数论家们提出了许多重要的猜想和定理，如费马大定理和椭圆曲线的模数猜想。研究椭圆曲线的数论性质对于解决许多数学难题具有重要意义。



四、费马方程转为椭圆曲线

费马方程的一般形式是 x^n + y^n = z^n ，其中 n 大于 2 。要将费马方程转化为椭圆曲线形式，可以引入新的变量和参数来重新表达方程。

首先，假设 z 不等于0，并将其除以 x、y 和 z 的最大公约数，这样方程可以写成：

       (x/z)^n + (y/z)^n = 1

然后，我们引入两个新的变量 u = x/z 和 v = y/z ，代入原方程得到：

       u^n + v^n = 1

这个方程描述了一个二次维度的曲线。接下来，我们需要考虑无穷远点 (∞, ∞) 的情况。在椭圆曲线的定义中，无穷远点被视为曲线上的一个特殊点。

通过引入新的坐标变换，我们可以将方程 u^n + v^n = 1 转化为椭圆曲线的标准形式。例如，使用变换 u = (X+1)/(X-1) 和 v = (Y+1)/(Y-1) ，然后进行一些代数运算，就可以将方程转化为标准的椭圆曲线形式。

转化后的椭圆曲线方程可能会有一些限制条件，如 n＞3 或某些特定的整数倍关系。但总体来说，费马方程可以通过适当的坐标变换转化为椭圆曲线方程，从而将问题转化为研究椭圆曲线的性质和解决椭圆曲线相关的数学难题。