今年我国奥数题

denglongshan

天山草

原题：
在 △ABC 中，K 是 BC 延长线上一点，过 K 分别作 AB、AC 的平行线 KP、KQ，满足 BK = BP，CK = CQ。
设 △KPQ 的外接圆与 AK 交于 T 点, 证明：① ∠BTC+∠APB = ∠CQA;   ② AP  BT  CQ = AQ  CT  BP。


用复斜率解析几何方法做很容易。解题思路是，假定先有 △KPQ，令其外接圆为单位圆，其圆心 O 在坐标原点。QP 边平行于实轴，KQ、KP 的复斜率分别为 u^2、v^2。 M、N 分别为 KP、KQ 的中点。在 ON 上任取一点 C，则 CK = CQ。B = KC ∩ MO。则 BK = BP。作 CA // QK，BA // PK，T = KA ∩ 圆O。如此，各点坐标都可求出。
证明 ① 时，只须证明 ∠CQA 两边的复斜率之比等于∠BTC 两边的复斜率之比乘以∠APB 两边的复斜率之比。
证明 ② 时，只须证明  AP^2  BT^2  CQ^2 = AQ^2  CT^2  BP^2 即可。

天山草

原题目要求三角形 ABC 是锐角三角形，这是多余的条件。事实上，无论 1# 楼还是 2# 楼中画的三角形 ABC，都是钝角三角形。

denglongshan

天山草 发表于 2023-12-9 04:19
原题：
在 △ABC 中，K 是 BC 延长线上一点，过 K 分别作 AB、AC 的平行线 KP、KQ，满足 BK = BP，CK = C ...