数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 801|回复: 20

T(n,k) 表示将 1~n 排成一列,恰有 k 个数字与其位置吻合的排列种数,问一些有关问题

[复制链接]
发表于 2023-12-6 10:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2023-12-16 04:31 编辑



本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2023-12-6 15:35 | 显示全部楼层
(1)一一对应,唯一不对应,显然\[T_n^n=1,T_n^{n-1}=0\]
(2)T_n^0 即完全错排问题,易知\[T_n^0=(n-1)(T_{n-1}^0+T_{n-2}^0)\]
\[ T_n^0=n! \sum_{i=0}^{n}{\frac{(-1)^i}{i^i}} \approx\frac{n!}{e}\]
\[ T_{n+1}^1=T_{n+1}^0-(-1)^n=(n+1)*T_{n}^0\]
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-6 15:42 | 显示全部楼层
\[T_n^k={\frac{n!}{k!} \sum _{i=0}^{n-k} \frac{(-1)^i}{i!}} \approx\frac{n!}{ek!}=round(\frac{n!}{ek!})\]
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-6 15:46 | 显示全部楼层
\[T_n^k\]的计算,可以先从n个数中选n-k个放到对应位置,有\[C_n^{n-k}\]  种方法,然后对其余的k个数进行全错排,即
\[ T_n^k=C_{n}^{n-k}*T_k^0={\frac{n!}{k!} \sum _{i=0}^{n-k} \frac{(-1)^i}{i!}} \approx\frac{n!}{ek!}=round(\frac{n!}{ek!})\]

点评

謝謝老師  发表于 2023-12-16 04:31
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-6 16:44 | 显示全部楼层
\[T_5^k=round(\frac{5!}{ek!})=\{44, 45, 20, 10, 0, 1\}\]
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-7 08:44 | 显示全部楼层
  1. Table[n!/(k! (n - k)!)*Round[(n - k)!/E], {n, 2, 9}, {k, 0, n - 1}]
复制代码

{{1, 0}, {2, 3, 0}, {9, 8, 6, 0}, {44, 45, 20, 10, 0}, {265, 264, 135,40, 15, 0}, {1854, 1855, 924,315,70,21,0},
{14833, 14832, 7420,2464, 630, 112, 28, 0}, {133496, 133497, 66744, 22260, 5544, 1134, 168, 36, 0}}

评分

参与人数 1威望 +15 收起 理由
cz1 + 15 赞一个!

查看全部评分

回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-9 06:18 | 显示全部楼层
Treenewbee 发表于 2023-12-6 08:44
\[T_5^k=round(\frac{5!}{ek!})=\{44, 45, 20, 10, 0, 1\}\]

下面这串数可以出来,再下面这串数应该怎样出来?
                                        {{1}},
                                      {{2, 1}},
                                    {{2, 3, 2}},
                                  {{3, 4, 4, 2}},
                                {{3, 6, 7, 6, 3}},
                            {{4, 8, 12, 12, 7, 3}},
                       {{4, 11, 18, 22, 17, 10, 3}},
                     {{5, 13, 27, 37, 36, 25, 12, 4}},
                  {{5, 17, 37, 59, 67, 56, 34, 15, 4}},
             {{6, 20, 50, 89, 117, 115, 85, 46, 17, 4}},
        {{6, 24, 66, 130, 193, 218, 187, 122, 59, 21, 5}},
     {{7, 28, 84, 183, 303, 386, 381, 291, 171, 75, 24, 5}},
{{7, 33, 106, 252, 459, 649, 723, 635, 437, 233, 94, 28, 6}}
  1. Table[Abs[n!/(k!(n-k)!)Round[(n-k)!/E]-Round[n!/(Ek!)]],{n,3,9},{k,2,n-1}]
复制代码

                    {{0}},0=2+1-3,
                  {{1, 1}},1=2+3-4,1=3+2-4,
                {{1, 1, 0}},1=3+4-6,1=4+4-7,0=4+2-6,
              {{1, 1, 1, 2}},1=3+6-8,1=6+7-12,1=7+6-12,2=6+3-7,
            {{1, 2, 2, 2, 0}},1=4+8-11,2=8+12-18,2=12+12-22,2=12+7-17,0=7+3-10,
          {{2, 2, 3, 3, 2, 1}},
        {{1, 3, 5, 6, 5, 3, 1}},
      {{2, 4, 7, 9, 8, 5, 3, 2}},
  {{2, 4, 9, 13, 14, 13, 9, 4, 0}},

点评

謝謝王老師  发表于 2023-12-16 04:31
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-9 09:17 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-12-8 22:18
下面这串数可以出来,再下面这串数应该怎样出来?
                                        {{1}},
   ...

上面的数字怎么来的呢?

点评

上面的数字=中间的”复制代码“出来的,下面的数字=手工出来的。  发表于 2023-12-9 09:27
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-9 09:18 | 显示全部楼层
你把原始递推公式代进去计算一下即可
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-12-15 15:00 | 显示全部楼层


本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

謝謝陸老師  发表于 2023-12-16 04:31
112 師大申  发表于 2023-12-16 04:30
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-3 03:49 , Processed in 0.080078 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表