找出满足 gcd(a,b,c,d)=1，a|(b+c)，b|(c+d)，c|(d+a)，d|(a+b) 的所有整数 (a,b,c,d)

popo987654

一道数论证明题



请教方法，不知如何入手

uk702

提供一个思路，或许可以从大小开始。

不妨设 1≤ a <= b <= c <= d

由 d | (a+b)，而 a+b ≤ 2d，因为 d≧a且 b>0，∴  d=a+b，或 2d=a+b =>  a=b(=c)=d => a=b=c=d=1

现考虑 d = a+b，由 c | (d+a)，d+a = 2a + b <= 3c，
case 1: c = 2a + b，这和 c <=d = a + b 矛盾
case 3: 3c = 2a + b  => a=b=c=1, d=2
case 2: 2c=2a+b，于是有 a,b,c,d 为 a, 2k, a+k，a+2k，2k >= a >= k
由 2k | (2a +k) 且 2a + k <= 4k + k = 5k，∴ 2a+k=2k => k=2a（无解）， 2a + k = 4k => 2a = 3k
于是 a,b,c,d = a,4/3a,5/3a,7/3a
得解(3,4,5,7)