找出满足 gcd(a,b,c,d)=1，a|(b+c)，b|(c+d)，c|(d+a)，d|(a+b) 的所有整数 (a,b,c,d)

popo987654

一道数论证明题



请教方法，不知如何入手

uk702

提供一个思路，或许可以从大小开始。

不妨设 1≤ a <= b <= c <= d

由 d | (a+b)，而 a+b ≤ 2d，因为 d≧a且 b>0，∴  d=a+b，或 2d=a+b =>  a=b(=c)=d => a=b=c=d=1

现考虑 d = a+b，由 c | (d+a)，d+a = 2a + b <= 3c，
case 1: c = 2a + b，这和 c <=d = a + b 矛盾
case 3: 3c = 2a + b  => a=b=c=1, d=2
case 2: 2c=2a+b，于是有 a,b,c,d 为 a, 2k, a+k，a+2k，2k >= a >= k
由 2k | (2a +k) 且 2a + k <= 4k + k = 5k，∴ 2a+k=2k => k=2a（无解）， 2a + k = 4k => 2a = 3k
于是 a,b,c,d = a,4/3a,5/3a,7/3a
得解(3,4,5,7)


故所有解如下：
1，1，1，1
1，1，1，2
3，4，5，7


由于 a,b,c,d 是轮换式，不是对称式，故上述 "不妨设 a <= b <= c <= d" 是有问题。但可以假设 d 为最大值，再分别讨论如下六种情况：
case 1,2: a 为次大， b <= c 或 c > b
case 3,4: b 为次大， a <= c 或 a > c
case 5,6: c 为次大， a <= b 或 a > b

若 d 不是最大，如解 (1,1,3,2)，则可以通过轮换为 (2,1,1,3) 使得 d 为最大，这时称解 (1,1,3,2) 和 (2,1,1,3) 等价。

Treenewbee

uk702 发表于 2023-12-3 12:05
提供一个思路，或许可以从大小开始。

不妨设 1≤ a  a=b=c=d=1

{{2,3,7,5},{2,5,3,7},{3,4,5,7},{3,7,2,5},{3,7,5,2},{4,5,7,3},{5,2,3,7},{5,3,7,2},{5,7,3,4},{7,2,5,3},{7,3,4,5},{7,5,2,3}}

Treenewbee

1. Select[Tuples[Range@20,{4}],Mod[#[[2]]+#[[3]],#[[1]]]==0&&Mod[#[[3]]+#[[4]],#[[2]]]==0&&Mod[#[[4]]+#[[1]],#[[3]]]==0&&Mod[#[[1]]+#[[2]],#[[4]]]==0&&GCD@@#==1&]

复制代码

{{1,1,1,1},{1,1,1,2},{1,1,2,1},{1,1,3,2},{1,2,1,1},{1,2,1,3},{1,3,1,2},{1,3,2,1},{1,3,5,4},{1,4,3,5},{1,5,2,3},{1,5,3,2},{2,1,1,1},{2,1,1,3},{2,1,3,1},{2,1,5,3},{2,3,1,5},{2,3,7,5},{2,5,3,7},{3,1,2,1},{3,1,5,2},{3,2,1,1},{3,2,1,5},{3,4,5,7},{3,5,1,4},{3,5,4,1},{3,7,2,5},{3,7,5,2},{4,1,3,5},{4,3,5,1},{4,5,7,3},{5,1,4,3},{5,2,3,1},{5,2,3,7},{5,3,2,1},{5,3,7,2},{5,4,1,3},{5,7,3,4},{7,2,5,3},{7,3,4,5},{7,5,2,3}}

穷举1-20的所有组合，满足条件的四元组最大的数字是7，或许可以从这里下手

Treenewbee

\[b+c=ax,c+d=by,d+a=cz,a+b=dw \rightarrow 2(a+b+c+d)=ax+by+cz+dw\]
感觉可以使用柯西不等式

王守恩

我们注意到:  a,b,c,d在分母恰好出现1次，在分子恰好出现2次。
不妨设a>b>c>d (a,b,c,d只能是两两互素),
a=b+(a-b)=c+(a-c),可以有6种基本解(9-3)。

\(1,\frac{(b)+(a-b)}{a}=1,\frac{(a)+(d)}{b}≡\frac{(a)+(d)}{a-b}≡\frac{(b)+(a-b)}{d}≡0\)先填a,b,(a-b), d无法填。

\(2,\frac{(b)+(a-b)}{a}=1,\frac{(a)+(d)}{b}≡\frac{(b)+(d)}{a-b}≡\frac{(a)+(a-b)}{d}≡0\)先填a,b,(a-b), 唯一填法。

\(3,\frac{(b)+(a-b)}{a}=1,\frac{(a-b)+(d)}{b}≡\frac{(a)+(d)}{a-b}≡\frac{(a)+(b)}{d}≡0\)先填a,b,(a-b), 唯一填法。

\(4,\frac{(b)+(a-b)}{a}=1,\frac{(a)+(c)}{b}≡\frac{(a)+(a-b)}{c}≡\frac{(b)+(c)}{a-b}≡0\)先填a,b,(a-b), 唯一填法。

\(5,\frac{(b)+(a-b)}{a}=1,\frac{(a)+(c)}{b}≡\frac{(b)+(a-b)}{c}≡\frac{(a)+(c)}{a-b}≡0\)先填a,b,(a-b), c无法填。

\(6,\frac{(b)+(a-b)}{a}=1,\frac{(c)+(a-b)}{b}≡\frac{(a)+(b)}{c}≡\frac{(a)+(c)}{a-b}≡0\)先填a,b,(a-b), 唯一填法。

\(7,\frac{(c)+(a-c)}{a}=1,\frac{(a)+(a-c)}{b}≡\frac{(a)+(b)}{c}≡\frac{(b)+(c)}{a-c}≡0\)先填a,c,(a-c), 唯一填法。

\(8,\frac{(c)+(a-c)}{a}=1,\frac{(a)+(c)}{b}≡\frac{(b)+(a-c)}{c}≡\frac{(a)+(b)}{a-c}≡0\)先填a,c,(a-c), 唯一填法。

\(9,\frac{(c)+(a-c)}{a}=1,\frac{(c)+(a-c)}{b}≡\frac{(a)+(b)}{c}≡\frac{(a)+(b)}{a-c}≡0\)先填a,c,(a-c), b无法填。

cgl_74

这类题目，有一个通用的解题方法，可以将结论向前推进一大步。
也比较简单，就是将条件建模，形式化，建立一个4元一次方程组；解这个方程组，根据约束条件得到a,b,c,d的值。具体到本题，约束条件复杂一点，手算有点繁琐；但是通过计算机很容易求出全部解，因为逻辑很清晰，解的数量也不会大。

王守恩

王守恩 发表于 2023-12-5 03:58
我们注意到:  a,b,c,d在分母恰好出现1次，在分子恰好出现2次。
不妨设a>b>c>d (a,b,c,d只能是两两互素),
...

答案是这样。
1,无解,
2,a,b,c,d=5,3,2,1,
3,a,b,c,d=5,3,2,1,
4,a,b,c,d=5,4,3,1=7,5,3,2,
5,无解,
6,a,b,c,d=5,4,3,1=7,5,3,2,
7,a,b,c,d=7,5,4,3,
8,a,b,c,d=无解,
9,无解,