证明椭圆的平行割线的中点位于同一直线

luyuanhong

证明椭圆的平行割线的中点位于同一直线

原创 爱科普 数学经纬网 2023-11-28 19:00 发表于北京

自笛卡尔将坐标观念引入到数学中来，并将代数方程与代数曲线视为对应物，数学迎来了它迅猛的发展。新的观念的产生，看待事物的角度变化，都有可能将数学的研究推向新的高度。本文采用两种奇妙的证明方法，其中一种是代数方法，另一种是几何方法，向读者展示这颇有趣味的数学历史。

01  问题的直观表述

    在 Oxy 平面上，任何一椭圆曲线，有一系列平行直线（L1, L2, L3，…）与之相交，交于点 A1, B1, A2, B2, A3, B3, …，其中 A1 与 B1 的中点为 C1 ；A2 与 B2 的中点为 C2 ，依次类推。试证明 C1，C2，C3，… 这些点均位于同一条直线上。



02  牛顿的证明

    事实上，不论是对于椭圆，还是对于双曲线和抛物线，二次曲线的平行弦中点的几何轨迹是直线，这是在古代就已经知道了的。然而要证明这一点，是十分困难的，但由于牛顿别出心裁的思路，不仅是二次曲线，更是一般的 n 次曲线，都满足这样的规律。

    设给了一条 n 次曲线和它的一些彼此平行的割线。我们选取这样的坐标轴，使得这些割线平行于 Ox 轴。于是它们的方程就有形状 y=L ，这里 L 是随着割线的不同有差别的常数。设 F(x,y)=0 是在这样的坐标系里表示所说 n 次曲线的方程。容易证明，当从一个直角坐标系过渡到另外一个直角坐标系时，虽然曲线的方程改变了，但是曲线的次数是不改变的。所以 F(x,y)=0 还是 n 次多项式。为了求出所说曲线与割线 y=L 的交点的横坐标，必须联立地解方程 F(x,y)=0 和 y=L ，结果得到的一般说来是 x 的 n 次方程 F(x,L)=0 。



从这方程可以求得横坐标 x1，x2，…，xn 。按照重心的定义，n 个交点的重心的横坐标 x0 等于



但是，从代数方程的理论知道，方程的诸根之和 x1+x2+…+xn 等于未知数的 n-1 次项的系数的相反数再被 n 次项的系数除。而因为 x 和 y 的指数之和在 F(x,y) 的每一项都等于或小于 n ，所以具有 x^n 的项根本不包含 y 而有形状 Ax^n ，这里 A 是常数，而具有 x^(n-1) 的项即使包含 y ，也不会高于一次，即有形状 (By+C)x^(n-1) 。因此，x^n 的系数是 A ，而 x^(n-1) 的系数是 By+C ，于是对于已知的 L ，我们就有



但是割线平行于 Ox 轴，对于它的全部点都有 y=L ，因此割线与所说 n 次曲线的交点的重心的纵坐标 y0 也等于 L ；这样一来，我们最终得到 nAx0+By0+C=0 ，即所有这些割线的全部被考虑的重心的坐标 x0，y0 都满足一次方程，因此，这些重心在一条直线上。

  就这样，这个古代所不知道的新的普遍定理，现在却非常简单地被证明了。这样的例子显示出解析几何的强大力量。

03  另一种思路：伸缩变换

      

    椭圆可以由圆的拉伸变换而得到。例如，把圆 x^2+y^2=1 的 x 变成 x/a ，y 变成 y/b ，那么圆就会变成 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 。反之，椭圆可以变成圆。圆的平行割线称之为平行弦。如果我们可以证明，在这样的变换过程中，圆变成了椭圆，直线依然变成直线，平行割线变成平行弦，中点依然是中点，那么众所周知的结论“圆的平行弦的中点位于同一直线上”不就变成“椭圆的平行割线的中点位于同一直线上”了吗？

   

    事实上，在平面向着直线的均匀“压缩”下，平面上的每一条直线都变成直线。实际上，设平面以“压缩”系数 k 被“压”向处在这平面上的直线 a 。设 b 是平面上的任意直线，O 是它与直线 a 的交点，B 是直线 b 上的任意别的点，BA 是从这个点引到直线 a 上的垂直线。经过“压缩”，点 B 变成这垂直线上的一个点 B' ，使得 B'A=kBA 。所以 ∠B'OA 的正切就等于



即等于直线 b 与直线 a 的夹角的正切的 k 倍，这就是说，对于由直线 b 上不同的点变成的所有点 B' 来说，∠B'OA 的正切都是相同的。因此，所有的点 B' 处在同一条直线上，这直线通过点 O 而且与直线 a 的夹角有这样的正切。

    不仅如此，在压缩下，平行直线还成为平行直线。实际上，如果直线 b 和 c 与直线 a 的夹角有相同的正切，则它们的像 b' 和 c' 与 a 的夹角的正切，因为都是上述正切值的 k 倍，所以彼此相同，即直线 b' 与 c' 也彼此平行。

    而且，在压缩下，线段的中点还是中点，三分点还是三分点，等等。实际上，在下图中，不管点 M 分线段 M1M2 成什么比值，它的像 M' 分这些线段的像 M1'M2' 成同一个比值，这是因为分它们的割线为成比例的部分。



    既然在圆变成椭圆的过程中，圆变成了椭圆，直线依然变成直线，平行割线变成平行弦，中点依然是中点，由于圆的平行弦的中点位于同一直线上，那么椭圆的平行割线的中点位于同一直线上也就是自然而然的了。