试证\((1+\frac{1}{n})^n< e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\;(\forall n)\)

elim

上贴不是严格的证明。

王守恩

虽然没有严格的证明，但数据还是靠谱的。

\(\big(\frac{n+1}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+n+1}{2n^2-n+1}\big)^n< e<\big(\frac{2n^2+n-1}{2n^2-n-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-1}\big)^n\)

王守恩

张狂一点，教科书应该这样写！

\(\big(\frac{n+a}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+an+1}{2n^2-an+1}\big)^n< e^a<\big(\frac{2n^2+an-1}{2n^2-an-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-a}\big)^n\)

王守恩

更应该有：

\(\big(\frac{n+a}{n}\big)^n<A_{+①}^a<\big(\frac{2n^2+an+1}{2n^2-an+1}\big)^n<B_{+②}^a< e^a<B_{-②}^a<\big(\frac{2n^2+an-1}{2n^2-an-1}\big)^n<A_{-①}^a<\big(\frac{n}{n-a}\big)^n\)

\(其中:  A_{+①}^a与A_{-①}^a是相似的一对,  B_{+②}^a与B_{-②}^a是相似的一对。\)

王守恩

\(\bigg(1+1/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(1/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(1/n)\bigg)^n=e\)
\(\bigg(1+2/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(2/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(2/n)\bigg)^n=e^2\)
\(\bigg(1+3/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(3/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(3/n)\bigg)^n=e^3\)
\(\bigg(1+4/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(4/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(4/n)\bigg)^n=e^4\)
......
\(\bigg(1-1/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(1/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(1/n)\bigg)^n=1/e\)
\(\bigg(1-2/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(2/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(2/n)\bigg)^n=1/e^2\)
\(\bigg(1-3/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(3/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(3/n)\bigg)^n=1/e^3\)
\(\bigg(1-4/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(4/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(4/n)\bigg)^n=1/e^4\)
......

王守恩

\(\bigg(1+\sin(1/n)\bigg)^n<\bigg(1+1/n\bigg)^n<\bigg(1+\tan(1/n)\bigg)^n<\)  e

王守恩

蹭一点热度。

\(\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\bigg(\frac{1}{k*\pi+a}\bigg)^2=\bigg(\frac{1}{\sin(a)}\bigg)^2\)

任在深

万物皆数！
万数皆形！

                       因此    (1)   π=C/R=3+√2/10
                                  (2)   E=4√n/R=4√n/√2n
                                           =4/√2=4√2/(√2)^2
                                           =2√2
                                           =[2.828......]（可作图）
                                  (3)  e=2.717......无法作图！

           因此e是π的兄弟那么e=E=2√2共同在天圆地方中才是亲兄弟！！