试证\((1+\frac{1}{n})^n< e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\;(\forall n)\)

elim

题：试证 \((1+\frac{1}{n})^n< e<(1+\frac{1}{m})^{m+1}\;(\forall m,n\in\mathbb{N}^+)\)

lihp2020

这个 e 怎么搞？？\((1+\frac{1}{n})^n) n->无穷表示？

elim

lihp2020 发表于 2023-11-16 19:04
这个 e 怎么搞？？\((1+\frac{1}{n})^n) n->无穷表示？

这个 \(e\small=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(1+\frac{1}{n}\big)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\)

参见数学分析教科书或大学微积分教材

lihp2020

已知 e=**  就证明左边  就是 证明这个表达式 在 0到正无穷单独递增  
这个知识点 高中 好像是必考点

证明了左边  现在 开始证明右边  好像 利用的(1+1/x-1)^(x-1)*(1+1/x-1)^(x) <（1+1/x）^2x <e^2来证明的
大概 这样的思路 证明的   (我高中的时候做过 不想做了 好难得写)
大概思路  a*b*c<s<e^2 其中 a<1 b<e  那么c就必须>e

elim

大部分教科书都有 \((1+\frac{1}{n})^n < e\) 的证明。要证明 \(e < (1+\frac{1}{m})^{m+1}\),
只要证明 \(\{(1+\frac{1}{m})^{m+1}\}\) 严格递降.

王守恩

可以加强。

\(\big(\frac{n+49/100}{n-49/100}\big)^n< e<\big(\frac{n+50/100}{n-50/100}\big)^n\)

还可以加强......

有兴趣可以参考《常数"e"表达式的猜想》《优美的数字(1)》《优美的数字(4)》...

王守恩

可以加强。

\(\big(\frac{2n^3+n^2+2}{2n^3-n^2-2}\big)^n< e<\big(\frac{2n^3+n^2-2}{2n^3-n^2+2}\big)^n\)

还可以加强......

有兴趣可以参考《常数"e"表达式的猜想》《优美的数字(1)》《优美的数字(4)》...

王守恩

挑战一下！还有比7#更好的吗？？应该没有了！！！

  (1), 大部分教科书的算法。Table[N[((10^n + 1)/10^n)^10^n, 2 n], {n, 1, 8}]
2.6,2.705,2.71692,2.7181459,2.718268237,2.71828046932,2.7182816925450,2.718281814867636,
  (2), 7#的算法。Table[N[((2*10^(3 n)+10^(2n)-2)/(2*10^(3 n)-10^(2n)+2))^10^n, 2 n], {n, 1, 8}]
2.7,2.718,2.71828,2.7182818,2.718281828,2.71828182845,2.7182818284590,2.718281828459045,
  (3), 标准答案： Table[N[E, 2 n], {n, 1, 8}]
2.7,2.718,2.71828,2.7182818,2.718281828,2.71828182846,2.7182818284590,2.718281828459045,
  (4), 7#的算法。Table[N[((2*10^n + 1)/(2*10^n - 1))^10^n, 2 n], {n, 1, 8}]
2.7,2.718,2.71828,2.7182818,2.718281828,2.71828182846,2.7182818284590,2.718281828459045,
  (5), 大部分教科书的算法。Table[N[(10^n/(10^n - 1))^10^n, 2 n], {n, 1, 8}]
2.9,2.732,2.71964,2.7184178,2.718295420,2.71828318760,2.7182819643731,2.718281842050455,

lihp2020

王守恩 发表于 2023-11-18 05:55
可以加强。

\(\big(\frac{n+49/100}{n-49/100}\big)^n< e

为啥 这些 东西 有人点赞？？

当 n=1
(1+0.49)/（1-0.49）~=2.92
(1+0.5）/(1-0.5)=3
明显 e<2.92<3
不知道加强的目的是啥？

王守恩

lihp2020 发表于 2023-11-21 01:28
为啥 这些 东西 有人点赞？？

当 n=1

谢谢 lihp2020 指正！6#有问题, 7#没问题。谢谢 lihp2020 ！

  (1), 大部分教科书的算法。Table[N[((n + 1)/n)^n, n/3], {n, 4, 18}]
2., 2.5, 2.5, 2.5, 2.57, 2.58, 2.59, 2.604, 2.613, 2.621, 2.6272, 2.6329, 2.6379, 2.64241,2.64643,2.65003
  (2), 7#的算法。Table[N[((2 n^3 + n^2 - 2)/(2 n^3 - n^2 + 2))^n, n/3], {n, 4, 19}]
2., 2.5, 2.6, 2.6, 2.64, 2.65, 2.67, 2.675, 2.682, 2.688, 2.6918, 2.6952, 2.6980, 2.70030,2.70224,2.70388
  (3), 标准答案： Table[N[E, n/3], {n, 4, 19}]
3., 2.7, 2.7, 2.7, 2.72, 2.72, 2.72, 2.718, 2.718, 2.718, 2.7183, 2.7183, 2.7183, 2.71828,2.71828,2.71828
  (4), 7#的算法。Table[N[((2 n + 1)/(2 n - 1))^n, n/3], {n, 4, 19}]
3., 2.7, 2.7, 2.7, 2.72, 2.72, 2.72, 2.720, 2.720, 2.720, 2.7194, 2.7193, 2.7192, 2.71907,2.71898,2.71891
  (5), 大部分教科书的算法。Table[N[(n/(n - 1))^n, n/3], {n, 4, 19}]
3., 3.1, 3.0, 2.9, 2.91, 2.89, 2.87, 2.853, 2.841, 2.831, 2.8222, 2.8148, 2.8084, 2.80280,2.79785,2.79345