索菲斯·李：视力欠佳，却看到数学和物理中最深刻的结构之一

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索菲斯·李：视力欠佳，却看到数学和物理中最深刻的结构之一

挪威数学家索菲斯·李因视力欠佳，“弃医从理”走上学术道路。这一路他遇到了克莱因、库默尔、魏尔施特拉斯等大数学家。他也开创了自己的辉煌，甚至其意义超越了其最初的想象：为了找到一种类比伽罗瓦理论的微分方程理论，判定微分方程能否求解，索菲斯·李发现了连续群——李群，这一划时代的工具完全改变了数学和物理的发展。

撰文｜伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

翻译丨李思尘、张秉宇

看待几何的新方式

马里乌斯·索菲斯·李（Marius Sophus Lie）走上科学之路完全是因为视力太差而无法担任任何军职。当索菲斯——人们后来这样称呼他—— 1865 年从克里斯蒂安尼亚大学（编者注：今奥斯陆大学）毕业的时候，他只上过很少的几门数学课，其中包括一门由挪威人卢德维格·西洛（Ludwig Sylow）讲授的伽罗瓦理论，但他在这一领域并没有表现出任何过人的天赋。他曾一度犹豫不决——他知道自己想要走学术研究的道路，但不确定应该研究哪个领域，是植物学、动物学抑或是天文学。


图 1 挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899） 丨图片来源：wiki

不过大学图书馆的借书记录显示，他借阅了越来越多的数学书籍。1867 年的一个午夜，他茅塞顿开，看清了自己将毕生为之奋斗的事业。他的朋友恩斯特·莫茨费尔特（Ernst Motzfeldt）在睡梦中被激动万分的李惊醒，只见他大喊着：“我找到它了，它是那么简单！”

他所找到的是一种看待几何的新方式。

李开始研究伟大几何学家的工作，比如德国数学家尤利乌斯·普吕克（Julius Plücker）和法国数学家让–维克托·彭赛列（Jean-VictorPoncelet）等。从普吕克那里，他学习到几何体的基本元素不是人们熟悉的、欧几里得提出的点，而是直线、平面、圆这些其他的对象。

1869 年，他自费发表了一篇论文，概括了他的主要思想。他认识到自己的思想正如先前的伽罗瓦和阿贝尔一样，对于保守派来说太过超前激进，普通的期刊都不愿意发表他的研究。但恩斯特鼓励他坚持做自己的几何研究，在他的支持下，李一直没有气馁。最终，李的一篇论文在一家知名期刊发表，反响热烈。这让李获得了一笔资助，他终于有钱去各地拜访顶尖的数学家，与他们讨论自己的想法。他去了孕育了普鲁士和德意志无数数学家的摇篮——哥廷根和柏林，与代数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）和恩斯特·库默尔（Ernst Kummer），以及分析学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）进行讨论。库默尔的数学研究方法给他留下了深刻印象，而魏尔施特拉斯的方法则没有引起他太多的注意。

最重要的会面则是在柏林拜访费利克斯·克莱因（Felix Klein）——他恰巧是李十分仰慕并希望效仿的普吕克的学生。李和克莱因的数学背景非常相似，但他们的风格却大相径庭。克莱因基本上是一个倾向于几何的代数学家，喜欢钻研一些充满内在美的具体问题；而李则是一个分析学家，喜爱一般理论的全面与广阔。讽刺的是，正是李的一般理论为数学提供了一些最重要的特殊结构，时至今日它们依然格外优美、格外深刻，其中大部分都是代数结构。如果不是李将理论推向普适化，这些结构可能根本就不会被发现。如果你尝试去理解某个类别中所有的数学对象，并且成功了的话，你会不可避免地发现其中有很多都具备特殊的性质。

1870 年，李和克莱因在巴黎再次相会。在那里，李受到若尔当（Camille Jordan）的影响，把研究目标转向了群论。越来越多的数学家认识到，几何和群论是同一枚硬币的两面，但这种思想经历了漫长的时间才全面成型。李和克莱因合作完成了一些研究，尝试进一步明确群与几何之间的联系。最终，克莱因在他 1872 年的“埃尔朗根纲领”中明确地提出了这一思想，说明几何和群的本质是一样的。

用现在的语言表述起来，这一思想听起来太过简单，早就应该是一目了然的了。对应于任一给定几何的群就是该几何的对称群。反之，对应于一个群的几何就是以该群为对称群的任意几何。也就是说，几何是由在群的变换下保持不变的东西来定义的。

举例来说，欧氏几何中的对称是平面中保持长度、角度、直线和圆不变的变换。它们所组成的就是平面中所有刚体运动的群。反之，一切在刚体运动中保持不变的对象都自然地属于欧氏几何的范围内。非欧几何仅仅是使用了不同的变换群而已。

那么，为什么要费力地把几何转换为群论呢？因为这样你就可以用两种不同的方式来看待几何，同时也有两种不同的方式来看待群。有的时候用一种方式更易于理解，有的时候则是另一种。拥有两种视角总比只有一种要好。

探索微分方程

法国和普鲁士之间的关系急剧恶化。拿破仑三世认为他可以通过对普鲁士开战来支撑起他下滑的支持率。普鲁士宰相俾斯麦向法国发出了一份措辞严厉、语气尖锐的电报，普法战争于 1870 年 7 月 19 日正式爆发。克莱因，一个生活在巴黎的普鲁士人，明智地选择了返回柏林。

然而李是挪威人，并且非常享受自己在巴黎的访问，于是他决定留下来。但当他意识到法国即将战败、德军正向梅斯挺进的时候，他改变了主意。尽管他是中立国的国民，但在潜在的战争区停留仍然并不安全。

李决定迅速动身，向意大利进发。但他没能走远：法国当局在巴黎东南大约 25 英里（约 40 千米）的枫丹白露抓住了他，而他随身携带着许多文件，上面写满了难以理解的符号。由于这些符号看起来显然是密文，他被当作德军间谍逮捕入狱。法国顶尖数学家加斯东·达布（Gaston Darboux）介入后，才说服了当局相信那些符号是数学推演。李得以获释，随后法军投降，德军封锁了巴黎，而李再一次前往意大利——这次他成功了。他从意大利返回了挪威。途中他还顺便拜访了安全地留在柏林的克莱因。

1872 年，李获得了博士学位。李的研究深深震动了挪威学术界，以至于克里斯蒂安尼亚大学同年专门为他设立了一个职位。他和从前的老师卢德维格·西洛一起，开始着手编辑收集到的阿贝尔的研究。1874 年他娶了安娜·比尔克，他们一共生下了三个孩子。

此时，李已把研究重点集中在了一个他认为发展时机已经足够成熟的特定主题上。数学中有很多不同种类的方程，但其中有两类格外重要。第一类是代数方程，已经被阿贝尔和伽罗瓦充分地研究过了。第二类是微分方程，是牛顿在他关于自然规律的研究中引入的。这种方程涉及微积分的概念，与直接描述物理量不同，它们描述的是物理量随时间如何变化。更准确地说，它们给出的是这个量的变化率。例如，牛顿最重要的运动定律说的是，一个物体的加速度与作用在该物体上的合力成正比。加速度就是速度的变化率。定律没有直接告诉我们这个物体的速度，而是告诉了我们速度的变化率。与之类似，牛顿提出的另一个解释物体在冷却时温度如何改变的方程，说的是温度的变化率与物体温度和周围环境温度的差成正比。

物理学中很多重要的方程——关于流体流动、引力作用、行星运动、热的传递、波的运动、磁性作用，以及光和声的传播等——都是微分方程。牛顿最先认识到，如果去留意我们想要观察的量的变化率，而不是只盯着这些量本身，大自然的规律往往会变得更加简单，也更容易被发现。

李给自己提出了一个重大的问题：是否存在一种类比于伽罗瓦的代数方程理论的微分方程理论？是否存在某种方式来判定一个微分方程什么时候可以用特定的方法求解？

问题的关键又一次回到了对称性。李如今意识到，他在几何上得到的一些结果可以重新用微分方程的语言来阐释。一旦有了某个特定微分方程的一个解，李就可以对它施加（来自某个特定的群的）某种变换，然后证明结果同样是方程的一个解。从一个解可以得到很多个解， 全部由这个群关联起来。换言之，这个群是由微分方程的对称组成的。

这是个明显的暗示，暗示有某种优美的理论亟待发现。回想一下伽罗瓦对对称性的应用给代数方程带来了什么——现在想象一下，如果同样的事情发生在重要得多的微分方程身上，会怎么样？

李群与李代数：比想象更伟大

伽罗瓦研究的群都是有限群。也就是说，群中包含的变换数量是一个有限的整数。举例来说，由五次方程五个根的所有置换组成的群一共有 120 个元素。不过，还有很多有意义的群是无限群，包括微分方程的对称群。

一个常见的无限群就是圆的对称群，其中包含以任意角度旋转这个圆的所有变换。因为可能的旋转角度有无穷多个，所以圆的旋转群是无限群。表示这个群的符号是 SO(2) 。这里的 O 指的是“正交的”（orthogonal），意思是这些变换都是平面中的刚体运动，而 S 指的是“特殊的”（special）——旋转不会把平面翻转过来。

圆还具有无穷多条反射对称轴。如果你沿着任意一条直径反射这个圆，都会得到同样的圆。在旋转群中加上反射变换，就得到了一个更大的群，O(2) 。

SO(2) 和 O(2) 是无限群，但属于容易操控的一类。只要明确给出一个数——旋转角度，各种不同的旋转就都可以被确定下来了。当两个旋转组合起来时，你只需要把它们各自对应的角度相加即可。李把这种情形称为“连续的”，用他的术语来说，SO(2) 群就是一个连续群。而由于只需要用到一个数来确定角度，SO(2) 群也就是一维的。

O(2) 也一样是一维的，因为我们所需要的只是一种区分反射和旋转的方式，而在代数中这就是一个正负号的问题。

SO(2) 群是最简单的李群。李群同时具有两种结构：它既是一个群，也是一个流形——一个多维空间。对 SO(2) 来说，流形就是圆，而联结圆上两点的群运算，就是把两个相应的旋转角度相加。


图 2 圆有无穷多个旋转对称（左图）和无穷多个反射对称（右图）

李发现了李群的一个优美的特点：李群的群结构可以“线性化”。这就是说，李群所在的弯曲流形可以被替换为一个平直的欧几里得空间。这个空间就是流形的切空间。对于 SO(2) ，如图 3 所示。


图 3 从李群到李代数：圆的切空间

通过这种方式线性化后的群结构赋予了切空间一个属于自身的代数结构，这是一种“无穷小”版本的群结构，描述了非常接近恒等变换的变换有怎样的表现。这个结构被称作该群的李代数。它和群的维数相同，但是它的几何形式简单得多，是平坦的。

实现这样的简化当然要付出代价：李代数可以捕捉到对应群的最重要的性质，但会损失掉一些小细节，而且这些捕捉到的性质也会发生细微的变化。尽管如此，通过转换到李代数你依然可以了解到一个李群的很多性质，而且绝大多数问题用李代数都更容易解答。

可以证明——这是李的伟大洞察之一——李代数上自然的代数操作不是乘积 AB ，而是 AB – BA 的差，被称作换位子（在物理学中被称作对易子）。对于像 SO(2) 这样满足 AB = BA 的群，换位子等于 0 。但对于三维线性空间上的旋转群 SO(3) 这样的群，除非 A 和 B 的旋转轴重合或者相互垂直，否则 AB – BA 不会为 0 。所以群的几何特征在换位子的表现中得到了体现。

20 世纪初，随着“微分域”理论的诞生，李建立微分方程版“伽罗瓦理论”的梦想终于成为现实。但事实证明，李群理论远比李预期的更加重要，其应用也更加广泛。李群和李代数的理论不再只是判断微分方程是否可以用特定方法求解的工具，而是几乎已经遍及所有的数学分支。“李理论”已经超越了它的创造者，变得比他能想象到的更加伟大。

事后来看，原因在于对称性。对称性已经深入数学的每一个领域之中，也是大部分数学物理基本思想的根基。对称性表达了这个世界蕴藏的规律，正是这些规律推动着物理学不断向前。旋转等连续对称与空间、时间和物质的性质紧密相连；它们暗示着各种守恒定律的存在，比如能量守恒定律，说的是封闭系统既不能获得能量，也不会失去能量。对称性与守恒定律之间的这种联系是希尔伯特的学生埃米·诺特（Emmy Noether）发现的。

当然，下一步就是要去理解这些可能的李群，就像伽罗瓦和他的后继者从有限群中整理出多种性质一样。

此时，另一位数学家加入了这场探寻。

作者简介

伊恩·斯图尔特（Ian Stewart），英国沃里克大学数学系荣退教授，英国皇家学会会员。曾获英国皇家学会的法拉第奖章，美国科学促进会的“公众理解科学技术奖”和英国伦敦数学学会与英国数学及应用研究院颁发的“赛曼奖章”。斯图尔特著作颇丰，特别是在科普方面，《不可思议的数》《谁在掷骰子：不确定的数学》，Fearful Symmetry : Is God a Geometer ? 等作品。

本文摘自《迷人的对称》（Why Beauty Is Truth : The History of Symmetry）（中信出版社·鹦鹉螺，2022 年 9 月版）第 10 章《立志从军的近视眼与虚弱不堪的书呆子》，有删减，标题为编者所加。

数学经纬网 2023-11-11 19:00 发表于北京

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正在读李群在微分方程中的应用的一本书。