求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\) 的子序列方法.

elim

引理 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{A}=1\;(A>0)\)
证： 对常数 \(A\ge 1\)易见 \(1\le\sqrt[n+1]{A}\le\sqrt[n]{A}\) 所以 \(\{\sqrt[n]{A}\}\) 单调有界，
\(\quad\)可设 \(\alpha=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{A}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{A}\) 且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{A}=\big(\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{A}\big)^2\)
\(\quad\)故\(1\le\alpha=\alpha^2\) 即 \(\alpha=1.\,\) 因\(\small (A^{-1})^{\frac{1}{n}}(A^{\frac{1}{n}})=1,\)引理对\(\small A>0\)真.

命题\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.\)
证：由 \(\big(\sqrt[(n+1)]{n+1}/\sqrt[n]{n}\big)^{n(n+1)}=(1+\frac{1}{n})^n/n < 3/n\) 知 \(\{\sqrt[n]{n}\}_{n\ge 3}\)
\(\quad\)单调减, 有下界1故收敛. 其子列 \(\small 1< b_k=(2^{2^k})^{(2^{2^k})^{-1}}=2^{(2^{2^k-k})^{-1}}< 2^{\frac{1}{k}}\)
\(\quad\)显然趋于1. \(\small\quad\square\)

elim

在1楼中记\(a_n=\sqrt[n]{n}, \;b_k=a_{2^{2^k}},\) 则\(\{b_k\}\)是\(\{a_n\}\)的子序列，两者有相同的极限．
易见\(\small  1< b_k=(2^{2^k})^{(2^{2^k})^{-1}}=2^{(2^k/(2^{2^k}))}=2^{1/(2^{(2^k-k)})}< 2^{1/(2^k)}< 2^{1/k}\to 1\;(k\to\infty)\)
所以 \(\sqrt[n]{n}=a_n\to 1\;(n\to\infty)\)

elim

如果运用 Stolz 定理，那么 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ln\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\ln{\small\frac{n+1}{n}}=\ln 1=0\).
可见 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.\) 所以主贴不是最简求法，却是较初等奇特的。

如果无需交代极限值的由来，要证明\(\sqrt[n]{n}\to 1\)只要用二项式定理就行：
\(h_n:=\sqrt[n]{n}-1\implies n=(1+h_n)^n> {\small\dfrac{n(n-1)}{2!}}h_n^2\implies 0< h_n< \sqrt{\small\dfrac{2}{n-1}}\to 0\)

王守恩

\(若\displaystyle a(n)=\bigg\lceil\frac{n}{\sqrt[n]{e}}\bigg\rceil,\)   \(“e”还可以是那些数？\)

\(满足 a(n)=n,\ \ n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, ......\)

elim

王守恩 发表于 2023-11-15 17:00
\(\displaystyle a(n)=\bigg\lceil\frac{n}{\sqrt[n]{e}}\bigg\rceil\)

\(a(n)=n,\ \ n=1,2,3,4,5,6,7,8 ...

提示 \(\sqrt[n]{e}>1,\;a(n)=n\iff\small \dfrac{n}{\sqrt[n]{e}}> n-1=\dfrac{n}{\sqrt[n]{({\scriptsize 1+}\frac{1}{n-1})^n}}\Longleftarrow e< ({\scriptsize 1+}\frac{1}{n-1})^n\)

王守恩

\(若\displaystyle a(n)=\bigg\lceil\frac{n}{\sqrt[n]{e}}\bigg\rceil,\)   \(1≤“e”≤e\ \ 可以满足 a(n)=n,\ \ n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, ......\)

\(又:\ \ 若 n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, ...\ \ 则:\displaystyle\bigg\lceil\frac{2n+1}{\sqrt[n]{e}}\bigg\rceil-\bigg\lceil\frac{2n+1}{\sqrt[n]{e+1/n}}\bigg\rceil=\)1

\(2n+1\ 中的“2”,“1”好像还是不能随意改的!?\)

elim

题：试证\(\displaystyle a(n):=\bigg\lceil\frac{n}{\sqrt[n]{e}}\bigg\rceil=n\;(\forall  n\in\mathbb{N}^+)\)

证：易见\(\sqrt[n]{e}>1\implies a(n)\le n\), 只须证\(\small \dfrac{n}{\sqrt[n]{e}}> n-1\)．但\(n-1=\dfrac{n}{\sqrt[n]{({\scriptsize 1+}\frac{1}{n-1})^n}}\)
\(\qquad\)于是只需证\(e< ({\scriptsize 1+}\frac{1}{n-1})^n:=b_{n-1}\;(n>1)\).  由\(\large\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{(n+1)^{n+1}(n-1)^n}{n^{2n+1}}\)
\(\qquad=\small\dfrac{(n^2-1)^n(n+1)}{n^{2n+1}}=\dfrac{1+\frac{1}{n}}{(1+\frac{1}{n^2-1})^n}< \dfrac{1+\frac{1}{n}}{(1+\frac{1}{n^2})^n}= \dfrac{1+\frac{1}{n}}{\scriptsize\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^{2k}}}< 1\) 知
\(\qquad b_n\)严格减趋于\(e, \;\therefore \; e< b_{n-1}\;(n>1)\)得证！

elim

楼上这个题目可以叫作 王守恩猜想

王守恩

\(解方程：a+b=2023,\ \ a^b=e\)

elim

王守恩 发表于 2023-11-17 02:45
\(解方程：a+b=2023,\ \ a^b=e\)