A,B 是圆的对径点，PE,PF 是切线，PA 交圆于 C，EA,BF 交于 D，求证：CP 平分 ∠DCE

chenjiahao

如图， A,B是圆的对径点，PE,PF是圆上的切线，交于点P.
延长PA交圆于点C，延长EA,BF交于点D
连结CE,CD
求证： CP平分∠DCE
尽量用纯几何方法解

数学小白新

用调和来证很简单，不过导角也不是很麻烦。

天山草

抛砖引玉，先给个借助于 mathematica 计算软件编程的复平面解析几何方法解答。纯几何方法请高人解答。

AB 是圆O 的直径，P 是圆外一点，PE、PF 是切线。C = 圆O ∩ PA，D = EA ∩ BF，证明 CP 平分∠ECD。

程序及运行结果图：

Future_maths

总是使用电脑软件来解题算什么本事？

chenjiahao

诸位英才，本人有一个思路
由弦切角定理得到\(\angle PEA=\angle ECP\)，
所以原题可转化为证\(\angle PEA=\angle DCP\)，
即证C,D,P, E共圆
可把重点放在对径点上

kanyikan

有一个高人只写了两个字“调和”就说证明完了。

chenjiahao

先证AQOF共圆
后再证CDPE共圆，
现请高人补全过程

luyuanhong

楼上 数学小白新 的解答已收藏。

天山草

首先对数学小白新非凡的纯几何功底表示十分的钦佩！其证明过程比较简略，因此并非人人都能完全看懂他的证明过程。
从此题也可以看出，利用解析几何的机器证明方法，只要求不太多的几何知识和做题功力，例如，对于题目的原图形往往不需要添加辅助线，即使需要加辅助线，也不会很多。这就意味着大大减轻了人脑的思考工作量！
几何问题的机器证明是蓬勃发展的人工智能的一个方面，相信在实际工作中它必将发挥应有的作用。
但是目前机器证明的所有方法还不宜在中学生中宣传和讲解，因为高考大纲中没有这方面的内容，中学生学习这个东西只会浪费他们宝贵的学习时间和增加学习负担，希望本网站的中小学生注意这一点。

数学小白新

天山草 发表于 2023-11-6 02:19
首先对数学小白新非凡的纯几何功底表示十分的钦佩！其证明过程比较简略，因此并非人人都能完全看懂他的证明 ...

1、由P、E、O、F四点共圆可知∠5=180-(∠3+∠4)，故∠1=1/2∠5。
2、以P为圆心，PE为半径作圆，则∠5为弦EF所对的圆心角，由于同弦所对的圆周角等于圆心角的一半，故∠1的顶点D必然落在圆周上。所以可得P为三角形DEF的外心。