既简单又精确的椭圆周长公式

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既简单又精确的椭圆周长公式

山东章丘 马国梁

我们知道：计算椭圆周长没有简单的准确公式；其准确公式是椭圆积分，表达式是一个无穷多项级数。而近似公式则是越简单，其偏差就越大。所以如何寻找一个既简单又精确的公式就成了许多人的追求目标。
现在研究该问题的数学爱好者很多，所给出的近似公式也五花八门，不计其数。但按照“既简单又精确”的标准来评选，可以入围的则是少的可怜。近来笔者按照这个标准，经过一番海选，录取了部分公式。现向大家作一下介绍、推荐。具体如下图示：


从图中公式还是能够看出这样的规律，那就是：越简单，偏差越大。①、②式最简单，但其偏差达百分之几甚至二十多，这是不可接受的；③式偏差超过1%，有待修正；④、⑤、⑥、⑦式均不超过1% ，尚可；其中⑦式是⑤的修正式。⑧、⑨、⑩式的精度均有不同的提高，最高的偏差在0.1%以下，但公式的复杂程度也显而易见，尤其是第⑨式。其中⑧式是③的修正式。
经过反复地对比，我认为下图中的四个公式应该得到公认，可以融入主流数学界。



公式A只是对②式的修正，将b/a变成了它的3/2次幂。B式是对⑩式的简化，虽然还是略显复杂，但其精度大大提高，可使偏差不超过0.1%。C式是一个超幂形式，独具特色，精度尚可。D式虽然项数多些，但很有规律，便于记忆，精度也高，自有保存价值。
笔者暂时想到以上这些。不知诸位读者那里还有没有更好的公式，可否拿出来一同欣赏、媲美？