从欧几里得到罗巴切夫斯基

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从欧几里得到罗巴切夫斯基



让几何知识形成一个完整体系的人是欧几里得。欧几里得是古希腊的数学家，人们对他的生平事迹所知甚少。欧几里得生于大约公元前 330 年，他写了一本《几何原本》，把当时古希腊的几何知识汇集在一起。

作者 | 陈永明

来源 | 图灵新知（ID:Tuling963）

一些西方国家的学者认为，几何学起源于古埃及。古埃及文明的“母亲河”——尼罗河常常泛滥，洪水把耕地淹没，人们死的死，逃的逃。洪水一退，外逃的人们回来了，可哪一块土地是我的，哪一块土地是你的呢？人们不得不重新测定土地。就这样，几何学诞生了。其实，各个文明在与大自然的斗争中都积累了一定的几何知识。比如，中华民族也在长期的生产实践中掌握了大量几何知识。西安市的半坡遗址博物馆里就陈列着许多绘制着菱形、方形等图案的陶器。春秋战国时期的墨子早就给圆下了一个定义：“圆，一中同长也。”

01  欧氏几何的“污点”

让几何知识形成一个完整体系的人是欧几里得。欧几里得是古希腊的数学家，人们对他的生平事迹所知甚少。欧几里得生于大约公元前 330 年，他写了一本《几何原本》，把当时古希腊的几何知识汇集在一起。而且，他所做的不是简单地汇集知识，而是从一些原始概念和公理出发，推证出一系列定理，使几何知识形成一个严密的体系。

后来，《几何原本》由明代的徐光启和传教士利马窦首次翻译成中文，被介绍到中国来。我们在中学里学习的平面几何，基本上仍然遵循《几何原本》的体系。我所在的上海市徐汇区就是徐光启的故乡。这个区的徐家汇街道保留了徐光启的坟墓和后人为纪念他而树立的塑像。利马窦之墓在北京，我也曾经去瞻仰过。

大家对《几何原本》里的众多公理都没有意见，唯独对欧几里得第五公设的意见很大，认为它不像公理，而像一条定理。把它作为公理放在《几何原本》里，是《几何原本》的一个“污点”。

第五公设又称平行公理，用现在的等价公理来表达是这样的：“过直线外的一点，能且只能作一条直线和它平行。”

很多数学家认为第五公设不像公理，而像一条定理，因此企图证明它。在欧几里得以后的 2000 多年里，数学家从未间断过这一努力，有人甚至花了毕生的精力，想把它证出来，可是没有成功。

19 世纪初期，有一位叫罗巴切夫斯基的俄国数学家，起初，他对第五公设也有疑问，也想证明它，而且他自认为找到了一个证法。可是后来，他发觉这个证法有错误，就没有把这个“证明”编进自己的讲义。然而，他仍不死心，想用反证法证明平行公理。因此，他假定“过直线外一点可以作两条以上的直线和它平行”，然后进行了一系列推理。他本来希望得出矛盾，从而推翻自己的假定，借此证明第五公设成立。但是，他推啊推，竟然导出一套定理，逻辑上没有自相矛盾的地方。这样一来，就形成了建立在崭新的公理——过直线外一点可以作两条以上的直线和它平行——之上的一套几何知识体系，这就是非欧几里得几何学的一种——罗巴切夫斯基几何。

罗巴切夫斯基的这一成果是革命性的，所以后人称他为“几何学里的哥白尼”。罗巴切夫斯基当年的处境却很惨，受尽了同行们的讽刺和打击。但是，他以大无畏的精神捍卫自己的新思想。他第一次写出的非欧几何论文在交付审查时竟被评委们遗失了。自 1829 年他的著作出版以后，他就不断宣传自己的理论，直到逝世前一年，他在失明的情况下，还口授写成了最后一本著作。

02  鲍耶·亚诺什和黎曼

对非欧几何做出杰出贡献的还有罗巴切夫斯基的同代人——匈牙利人鲍耶·亚诺什。鲍耶的父亲老鲍耶是大数学家高斯的同学，曾经致力于平行公理的证明，却毫无收获。年轻的小鲍耶对第五公设也很感兴趣，老鲍耶知道后，立即写信给他，希望他放弃这个课题。老鲍耶说：“它会剥夺你所有的时间，剥夺你的健康，剥夺你的幸福，这个地狱般的黑洞将吃掉成千个像牛顿一样的人……”小鲍耶没有听从父亲的劝告，经过努力，也终于创立了非欧几何。他的论文发表了，只比罗巴切夫斯基晚了三年。

小鲍耶将论文寄给高斯。高斯看了论文后，说这个匈牙利青年有很高的天分，又说他“和自己四十年来思考所得的结果不约而同”。小鲍耶的心胸不太开阔，他还以为高斯想剽窃自己的成果。到了 1840 年，当他读到罗巴切夫斯基的论文的翻译版时，更是意志消沉，从此就不再发表任何数学成果了。无论是父亲恫吓式的劝告还是工作中的困难都没有使他停止研究，但他反而栽在了自己手里，真是可惜。

高斯确实研究了非欧几何，并取得了一点儿成果，但是，他生前从来没有发表过这方面的任何论文。这是因为他怕在社会上引起巨大反响，他是个明哲保身的人。

后人认为，虽然罗巴切夫斯基、鲍耶·亚诺什和高斯这三个人都独立地发现了非欧几何，但高斯和鲍耶的贡献都无法和罗巴切夫斯基相比。

罗巴切夫斯基对传统欧几里得几何动了“手术”，这使后来的数学家打破了迷信：原来这个“欧氏殿堂”是可以冲击一下的。所以，数学家们纷纷从各种角度对欧几里得几何进行革新。

1854 年，黎曼构造了另一种非欧几何——黎曼几何。黎曼几何也是改变了欧几里得几何的平行公理，不过他是从另一个方向改变的，他假定：“过直线外一点，不可能作直线和它平行。”从这点出发，他也推出了一个不自相矛盾的体系。

在非欧几何里，许多性质发生了变化。譬如，三角形的内角和在欧氏几何里等于 180°，在罗氏几何里小于 180°，而在黎曼几何里则大于 180°。

03  没有非欧几何就没有相对论

有人或许会问：欧氏几何的用处是实实在在的，罗氏几何和黎曼几何有什么用处呢？

用处可大呢！可以这样说，没有非欧几何，就没有爱因斯坦的相对论。

爱因斯坦的相对论指出，物理空间在巨大的质量附近会弯曲。比如，我们在地球上某一点 O 观察某两颗恒星 A 和 B ，设 ∠AOB = θ 。如果爱因斯坦的理论不成立，那么，不管有没有太阳的干扰，θ 的值应该不变；如果他的理论成立，那么在有太阳干扰时和没有太阳干扰时，θ 的值应该有变化。但是在正常情况下，相关证明的实验是很难进行的。因为在强烈的阳光下，人们根本看不到恒星 A 和 B 。这项实验只能在日全食发生的时候才能实施。

1919 年，西非发生了日全食。一支英国天文学考察队伍前往西非的普林西比群岛进行实地观察。结果，科考人员发现 θ 的值在有太阳和没有太阳的情况下相差 1.61"±0.30" 。而爱因斯坦的理论计算指出，这两个值应该相差 1.75" ，误差甚小。

不要小看这小小的 1 点几秒，这一点差距足以说明太阳的巨大质量确实使恒星 A 和 B 射来的光线发生了弯曲，从而证实了爱因斯坦的相对论的正确性。这同时也说明，宏观地看，我们其实生活在三角形内角和不等于 180° 的空间里，也就是说，我们生活在非欧几何的空间里。

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作者：陈永明

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陈永明 好玩的数学 2023-10-18 07:02 发表于江西