追求完整的无理数：挑战手机计算器的极限

luyuanhong

追求完整的无理数：挑战手机计算器的极限

无理数是不能表示为两个整数之比的数，似乎有些“不讲道理”。很多无理数可以通过基础运算变成有理数或整数，而有些则无论怎样努力都不能变“完整”。本文介绍一个无理数，它本身即为三个无理数的组合，研究人员通过一个复杂的公式运算也只能得到它的近似值。但更重要的是，我们可以通过手机计算器来验证！

撰文 | 姬扬（中国科学院半导体研究所）

我们都知道，无理数（irrational number）“不讲理”。按整数标准，它们大多身形残缺，但是它们中间有很多数很有理想，总是想追求完整：有的是靠自己，有的是靠同志。





现在，我们来验证手机自带的 π 究竟算到了多少位。用 π 减去刚才得到的 42 位数字，即“π-3.1415…1971”。



按键盘的减号键“-”，显示屏的第一行就变为“π-”。用手指按第一行，会出现一个阴影区覆盖了所有的数字，同时出现两个键“复制”和“粘贴”；选择“粘贴”（注意，要保证光标位于这一行的最右边），就可以得到结果。

继续同样的操作，可以得到更多的位数。

从菜单里选择“历史纪录”，可以找到以前做的计算，比如说我刚做的把 π 算到 100 位。



算得对不对呢，我从网上找了π值小数点后 200 位，如下：

π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 。

跟上面的图片对照一下就可以看到，手机计算器的结果 115 位小数，全部正确。使用这一方法显然还可以算更多位，但是究竟能算多少位，我没有试验，毕竟用手机操作复制和粘贴太麻烦了。

值得一提的是，这个表现比我的 PC 电脑系统附带的计算器厉害。利用类似的操作，PC 系统的计算器可以得到“π= 3.14...... 6939931148 ”（第 41-50 位应该是 6939937510），从小数点后第 47 位开始就错了。


电脑计算器计算 π-3.141…2795 的值，在第 47 位时错误。

网上的 π 值就一定正确吗？它可能是正确的，也有可能手机计算器特地保留了 π 的很多位数，也许藏在哪里备用呢。




电脑计算器计算 √163-12.767…781（√163 的 30 位小数近似值）的结果。


手机计算器计算 √163 的结果，有 39 位小数。









我找到了一篇介绍性的文章[1]，看得一头雾水，但也不是没有收获。除了找到前面用的那个公式以外，我还发现——可能大家也都知道——数学家的数学虽然很好，但是他们算术不一定强，经常会搞错个符号之类的。正如文中所示，作者在欢呼成功之前的最后两行公式中“196884”前面的符号不一样，肯定有一个是错的——而且我肯定，是最后那行里的错了。



“大行不拘细谨，大礼不辞小让。”连数学家都不免犯错，三个努力追求完整的无理数最后没有取得特别完满的结果，也就不那么令人意外了。



的各种近似值，最后一个有 99 位小数。

参考文献

[1] https://www.isibang.ac.in/~sury/episq163.pdf

原创 姬扬 返朴 2023-10-18 08:02 发表于湖南